12.5.3. Общее решение классических уравнений движения струны

В конформной калибровке легко получить решение динамиче­ских уравнений струны в виде

Х^А (т, а) = у U^A (т + а) + g^A (т - а)], (12.5.3.1)

или в изотропных координатах 9 и 9^/

Х^А (б, Ю = i- Ц^А (9) + g-" (ВО]. (12.5.3.2)

Калибровка светового конуса допустима и будет хорошо определена глобально только в том случае, если f+(9) и g^(9') являются обратимыми функциями (см. приведенное выше уп­ражнение). При некоторых условиях этого может не быть.

Чтобы найти, в каких случа51х невозможно наложить калиб­ровку светового конуса, мы должны прежде всего принять во внимание условия Т_а$(Х) = 0, а также граничные условия при 6'= 8 и 9'= 9+ 2/(9). (Далее мы ограничимся рассмотрением только случая открытой струны. Некоторые замечания, касаю­щиеся замкнутой струны, приведены в разд. 12.5.7.)

Условия Т_ар(Х) = 0 будут удовлетворены, т. е. система ко­ординат 8, 6' будет изотропной, только в том случае, если век­торы df^A/dB и dg^A/d®' являются изотропными:

5Г"5" ^{= 0} ^~Ш~Ш~ ^{= 0}- (12.5.3.3)

Кроме того, граничное условие (12.5.1.3), которое задает по­ведение струны вблизи границ, будет иметь место в первой гра­ничной точке 9 = 8', если изотропные векторы df^A/dd и dg^A/dd^r равны при 9' = 9. Но если f^M (9) = g'^A (9), то без потери общ­ности можно считать, что функции f^A и g^A тождественны:

(12.5.3.4)

Тогда условие (12.5.1.3) будет выполнено в другой граничной точке, если

/^м (6) = Г⁴ (в+ 2/(6)).

Выбирая подходящую параметризацию для 9, которая приводит к интервалу изменения а от 0 до л, т. е. /(6) = я, получаем

Г^л (8) = f'^A (8 + 2я;). (12.5.3.5)

Периодичность по 8 производной /^м, означает, что

f^A (9 + 2я) = f^A (8) + 2яа'р^А, (12.5.3.6)

142 Глава 12

где р^А — некоторая постоянная "нулевая мода". Явные вычис­ления показывают, что р^А есть не что иное, как импульс струны. В соответствии с этим мы видим, что распространение стру­ны полностью определяется одной функцией /^л(6), т. е. задает­ся движением одного из своих концов 6 = 6', который движется со скоростью света по винтовой траектории:

Х^А (в, 90 =± [f^A (6) + f^A (601, (12.5.3.7а)

^^ = 0, (12.5.3.76)

f^A (6 + 2л) = f^A (6) + 2ma'p^A. (12.5.3.7в)

Если р^А — времениподобный вектор, то существует "система покоя", в которой р^А=(р,0, О, ..., 0); в этой системе отсчета конец струны 6 — 6' описывает периодическую замкнутую ор­биту со скоростью света.

Из уравнений (12.5.3.7) вытекают интересные следствия. Во-первых, из уравнения (12.5.3.7в) получаем, что р^А можно пред­ставить в виде суммы направленных в будущее изотропных векторов:

2Я

Р^А = -ъЬ?\Щ*-<®' (12.5.3.8)

и, следовательно, он обязательно должен быть времениподоб-ным или изотропным:

^2А^0. (12.5.3.9)

Другими словами, классическая струна не имеет тахионного состояния движения.

Кроме того, равенство в (12.5.3.9) достигается в том п только в том случае, когда вектор df^A/dQ параллелен некоторому заданному изотропному направлению ^t^A при любых значениях 6 т. е.

df ^Afd% = k (6) ii^A. (12.5.3.10a)

Это означает, что для соответствующей функции к. (6) имеем

f^A (6) — к (6) ц^л + ft (12.5.3.106)

Подставляя уравнения (12.5.3.10) в соотношение (12.5.3.7а), получаем, что изотропный импульс р^А соответствует струне, стянутой в точку, которая движется с постоянной скоростью, равной скорости света. Эти движения соответствуют основному состоянию струны.

Струна Намбу — Гото: классический анализ 143

Уравнения (12.5.3.7) позволяют рассматривать правомер­ность калибровки светового конуса на массовой поверхности. Вопрос в сущности сводится к следующему: является ли функ­ция f⁺(0) обратимой. Из уравнения (12.5.3.7в) видим, что не­обходимо рассматривать два случая.

1. р+ = 0. Выражение р² — -—2/?+/?" + 2 (р¹)² является не положительным (соотношение (12.5.3.9)), поэтому оно может иметь место только в том случае, если р² — 0 и р¹ = 0 (|р~|<С <С оо), т. е. струна коллапсировала в свое основное состояние и движется со скоростью света в "последнем" пространствен­ ном направлении. Тогда функция f+(0) оказывается постоянной и, следовательно, необратимой. Калибровка светового конуса не достижима при таком движении.

2. р+ -ф 0. В этом случае ситуация гораздо лучше. В самом деле, предположим, что f⁺(9i) = /^(бг) и 6i < 62- Гиперпло­ скость Х+ = const является изотропной гиперплоскостью, по­ этому она имеет вырожденную метрику и любое направление на ней либо пространственноподобное, либо изотропное:

(12.5.3.1 1)

индуцированная иа * + =eonsi

Изотропные направления заданы условием А⁷ = const.

Если траектория конца струны дважды пересекает заданную гиперплоскость Х+ = const, точки пересечения должны иметь одинаковые значения Х\ а именно

(12.5.3.12)

Это единственный случай, когда событие 6г находится в буду­щем по отношению к событию 6ь Кроме того, должны иметь место следующие соотношения:

(6) = (,) )

}e<B<e (12.5.3.13)

для любых 9 между 6i и Q_2i так как это единственная причин­ная кривая, которая может соединять два заданных события. Но тогда мы получаем, что индуцированная метрика на ми­ровой поверхности

|_струна

= [- Г + (6) X" (90 - X'⁺ (90 Г" (9) +

+ X^fi (9) Х\ (90] №d$ (12.5.3.14)

является вырожденной для 9i ^ 9, 9' ^ 9г. Это находится в противоречии с нашим "предположением конформной калиб­ровки", которое заключается в том, что координаты 9, 6'