12.5.6. Генераторы алгебры Пуанкаре

Преобразования Пуанкаре в своей исходной линейной форме выводят систему из калибровки светового конуса. Чтобы калиб­ровочные условия (12.5.2.9) и (12.5.2.10) сохранялись, необхо­димо также провести калибровочное преобразование.

Струна Намбу — Гото: классический анализ 149

Легко найти "компенсирующее" репараметризационное пре­образование, если заметить, что правильное преобразование (преобразование Пуанкаре-!-калибровочное преобразование) задается теми же генераторами, что и прежде, но на этот раз посредством скобок Дирака.

В самом деле, правильное преобразование должно отличать­ся от исходного преобразования Пуанкаре на репараметриза-цию, так что 6%п — 6% = 0 (условия Ьф_п — 6</> = 0 выполняются автоматически, поскольку генераторы Пуанкаре являются ка-либровочно-инвариантными). Но это как раз и есть те условия, выполнение которых обеспечивается использованием скобок Ди­рака, поскольку [%_п, все, что угодно] _DB = [%, вес что угод­но] db = О¹). Тот факт, что % зависит явно от т, здесь не суще­ствен, так как генераторы Пуанкаре определяют внутренние симметрии, не включающие т.

Поэтому в калибровке светового конуса генераторы Пуан­каре по-прежнему заданы выражениями (12.4.1.9), т. е. в неза­висимых переменных имеем

Р⁺=р⁺, P^l = p\ P^ = p" = Lj^r/2a> ⁺ , (12.5.6.1) '⁺, Mⁱ⁺ = —-^р⁺Х1 (12.5.6.2а)

+ i£ i(a<_n*ai_n-tf_nW_n), (12.5.6.26)

tr ч j _a*t_LU , _ftr „l

JP{ --У ^{пп L}lZ.-₊^aan . (12.5.6.2b)

/г>0

Заметим, что эти генераторы не являются линейными или квадратичными по независимым переменным.

При получении выражений (12.5.6.2) мы положили равными нулю слагаемые с явной зависимостью от времени, которая входит через Х⁺. Это достигается путем соответствующего ка­нонического преобразования (индуцируемого движением стру­ны). Такое упрощение не меняет алгебры генераторов, заданной скобками Дирака.

Упражнения

1. Используя скобки Дирака, найдите явный вид преобразо­ваний, которые генерируются системой (12.5.6.1), (12.5.6.2).

⁴) Мы видим также, что скобки Дирака [F, генераторы Пуанкаре]^ отличаются от скобок Пуассона [F, генераторы Пуанкаре]рв на калибровоч­ное преобразование, так как генераторы Пуанкаре коммутируют с условиями Вирасоро (а также вследствие (12.5.4.5)).

150 Глава 12

В полученных преобразованиях выделите обычное преобразова­ние Пуанкаре и репараметризацию.

2. Проверьте явными вычислениями, что система (12.5.6.1), (12.5.6.2) образует замкнутую алгебру по отношению к скоб­кам Дирака — алгебру Пуанкаре.

12.5.7. Особенности замкнутой струны

Теория замкнутой струны формулируется в калибровке свето­вого конуса аналогично тому, как это было сделано в случае открытой струны. Единственное отличие состоит в том, что ка­либровочные условия

(12.5.7.1)

эквивалентны условиям

(12.5.7.2)

и уже не фиксируют полностью калибровку. Имеется одна оста­точная калибровочная симметрия (сдвиги нулевой моды вдоль о), и этой симметрии соответствует одно условие связи — нуле­вая мода генератора а-репараметризаций Ж\ должна быть равна нулю.

Таким образом, оказывается, что "независимые" переменные p_if XI, и~, р⁺ и с¹_п, с¹_п должны подчиняться условию

Ll^v-Zo=O (12.5.7.3)

Эти переменные, как и прежде, удовлетворяют условиям

[Ц, Р_;1=б;:, [р+,«₀-] = 1, (12.5.7.4а)

К #J = - »"*»,'= К ^д'Я (12.5.7.46)

(остальные скобки равны нулю).

Величины р~ и с~, с~ по-прежнему задаются выражениями

т tr I 7~tr

р- = il±fl, (12.5.7.5)

Струма Намбу — Гото: классический анализ

151

Генераторы Пуанкаре записываются в виде

п>0

ар

(12.5.7.7)

(12.5.7.8a) )], (12.5.7.86)

М^г

		rtr	+	Itr
^0		a	V
				J
^Ln ■				n n

n n

-п п

п>0

Они образуют алгебру Пуанкаре по отношению к скобкам Ди­рака. Нетривиальный момент заключается в том, что условие связи остаточной симметрии возникает в коммутаторе М^!~], точное выражение для которого имеет вид

¹~

— ZJ^r)~O. (12.5.7.9)

Упражнения

1. Покажите, что связь (12.5.7.3) возникает как условие раз­ решимости связи ^i(a) —0 по отношению к периодической функции Х~(о) (нулевая мода в X'-(a) отсутствует).

2. Проверьте выражение для коммутатора (12.5.7.9).