13,3.3. Замкнутая струна — пуанкаре-инвариантность

Замкнутая струна рассматривается так же, единственной новой чертой является присутствие (одной) новой связи

(L? - Д^г) | ф) = (N - N) | -ф) = 0 (13.3.3.1)

на физические состояния¹). Здесь N(K^r)—номер уровня для право (лево) бегущих мод:

ZrCni, (13.3.3.2а)

п

N= ZnCVCni. (13.3.3.26)

п

Выше мы подробно обсудили тот факт, что связь (13.3.3.1) от­ражает наличие остаточной калибровочной инвариантности в калибровке светового конуса (постоянные трансляции по а).

Проверка алгебры Пуанкаре снова проводится непосред­ственно, если исключить [M^l~, М?-]. Оказывается, что [М¹~. M^f~\ отличается от "слабо исчезающего" оператора (т. е. опе­ратора, в котором разность L_o — L_o стоит справа и который уничтожает физические состояния) аномальным членом. Этот член равен нулю только в том случае, если

с? = 26, (13.3.3.3а)

сс_о = 2 (замкнутая струна), (13.3.3.36)

где ао обозначает неоднозначность упорядочения в сумме L

_^]) Мы считаем, что неоднозначность упорядочения в L_o такая же, как в Lq. Фактически' это предположение не является независимым, оно следует из требования слабого равенства нулю величины [M^l~, M^f~].

Квантование струны Намбу — Гото 189

13.3.4. Спектр (замкнутая струна)

Для замкнутой струны массовое уравнение имеет вид

^-M² = N + N-2 (13.3.4.1)

(см. гл. 12), Наклон траекторий Редже составляет половину соответствующего значения для открытой струны. Кроме того, физические состояния должны быть такими, что

N = N. (13.3.4.2)

Основное состояние является вакуумом и опять соответствует тахиону. Первые возбужденные состояния соответствуют N = = N= 1:

_{N =} N_s=\_t с{*ё{*|0). (13.3.4.3)

Они имеют нулевую массу, как это и должно быть, поскольку в противном случае мы имели бы недостаточно состояний для заполнения представлений 50(25).

Состояния (13.3.4.3) распадаются на бесследовую симмет­ричную часть (спин 2, "гравитон" g^z), антисимметричную часть (поле 2-формы Вав) и скаляр (спин 0, дилатон ф). Примеча­тельно, что в отсутствие условия N = N = 1 можно создать век­торные состояния в качестве первых возбужденных состояний. Соответственно из условия репараметризационной инвариант­ности (13.3.4.2) следует, что первое возбужденное состояние яв­ляется безмассовым "гравитоном" со спином 2.

Следующие состояния массивны и исследуются так же, как в случае открытой струны.

Весь спектр разбивается на часть, симметричную при за­мене с^с право- и левобегущих мод, и на антисимметричную часть. Замена с <-+с может быть получена изменением а на —о.

Симметричное усечение ("замкнутые струны типа I") соот­ветствует модели "Шапиро — Вирасоро" и не несет а-ориента-ции, поскольку остается неизменным при замене а на —о. Полный спектр (''замкнутые струны типа II") соответствует "расширенной модели Шапиро — Вирасоро" и описывает ори­ентированные струны, поскольку теперь преобразование <т—*—о* уже не тривиально действует на состояния (подробнее см. ра­боту [36]). Оказывается, что усечения до одного лишь антисим­метричного сектора, согласующегося с включением взаимодей­ствий, не существует.

190 Глава 13