Сравнительная таблица обозначений, используемых в частях I и и

Между обозначениями, используемыми в частях I и II данной книги, суще­ствуют небольшие различия. Данная таблица составлена с целью облегчить читателю переходы от одной части книги к другой.

Часть I

v, ...=0, 1, ..., d— I

(d = 26 или 10)

Простр анствеино-временной индекс

Интервал, кото­рый пробегает про­странственный пара­метр вдоль замкну­той струны

Фермионные ос­цилляторы в моде­ли Района

Спиноры по груп­пе SO (8) для су­перструны в калиб­ровке светового ко­нуса

Часть II

Л, В_у ... =0, 1,..., d — I = 26 или 10) 0 <! а <! 2л

2

^аЧасть

Часть I

Лекции по теории суперструн

Ларе Бринк

Глава 1 Введение

В шестидесятых годах нашего столетия четыре основных взаи­модействия— сильное, слабое, электромагнитное и гравитаци­онное— рассматривались совершенно по-разному. Несмотря на то что методы квантовой теории поля успешно использовались в квантовой электродинамике и теории слабых взаимодействий, для описания сильных взаимодействий применялись совсем другие подходы. Гравитация в то время едва ли могла счи­таться частью физики элементарных частиц.

Одним из наиболее важных открытий в физике элементар­ных частиц того времени было обнаружение большого числа адронных резонансов. Для этих резонансов график зависимости спина от квадрата массы распадается на (почти) прямые ли­нии. Это так называемые траектории Редже. Они играют глав­ную роль в теории Редже [1], основанной на аналитичности S-матрицы. В этой теории поведение амплитуд рассеяния при высоких энергиях определяется "полюсами Редже", которые образуют траектории Редже в кросс-канале. Тот факт, что на­ряду с определением амплитуд 5-матрицы с помощью проме­жуточных резонансов имеется описание этих амплитуд в терми­нах полюсов Редже в асимптотическом режиме, стимулировал настойчивые попытки построить дуальные модели, объединяю­щие оба эти аспекта. Такие модели с необходимостью вклю­чали бесконечное число состояний. Наивысшим достижением этих исследований стало открытие дуальной модели Венецианов которая оказалась вполне удовлетворительной моделью для описания рассеяния мезонов. Потребовались еще большие уси­лия, чтобы понять структуру этой модели более детально. Вскоре выяснилось, что версия этой модели, которая наилуч­шим образом удовлетворяет эксперименту с теоретической точ­ки зрения, имеет недостатки, такие как существование проме­жуточных состояний с отрицательной нормой. Однако Вирасоро [4] обнаружил, что при выборе некоторого нефизического (с точки зрения адронной физики) значения для интерсепта веду­щей траектории модель приобретает широкую симметрию, со­ответствующую бесконечномерной алгебре, теперь называемой

Введение 13

алгеброй Вирасоро. В этом случае, как было окончательно до­казано Брауэром, а также Годдардом и Торном [5], в модели отсутствуют состояния с отрицательной нормой (хотя и имеется тахионное состояние).

Вскоре после открытия модели Венециано замечательное наблюдение было сделано в работах Намбу, Нильсена и Сас-кинда [6]. Они показали, что модель описывает рассеяние од­номерных объектов — струн. Конечно, попытки построить мо­дели рассеяния протяженных объектов предпринимались и раньше, но все они не имели успеха. Основная трудность за­ключалась в том, чтобы обеспечить выполнение унитарности. В рамках модели Венециано эта проблема была наконец ре­шена, так что струнная картина рассеяния мезонов казалась весьма привлекательной. При этом многие физики считали, что в модели Венециано не хватает кварков на концах струны.

Отсутствие фермионов также было недостатком модели. Для того чтобы включить фермионы, Рамон [7] расширил ал­гебру Вирасоро, дополнив ее антикоммутирующими генерато­рами и заложив тем самым основы суперсимметрии. Немного позднее Неве и Шварц [8] построили другую бозонную модель, тоже реализующую подобную симметрию. Наконец, было по­казано [9], что введенные Рамоном фермионы могут быть включены в модель Неве — Шварца, в результате чего возни­кает единая модель, включающая и бозоны, и фермионы.

Оказывается, что такие модели обладают поразительным свойством. Теория для них может быть непротиворечиво сфор­мулирована (если ие принимать во внимание тахионы) только при особых размерностях пространства-времени, называемых "критическими размерностями". Для модели Венециано крити­ческая размерность d = 26, а для модели Рамона — Неве — Шварца d=\0. Эти факты получили естественное объяснение в работе Годдарда и др. [10], посвященной квантованию реля­тивистской струны. Для таких объектов действие, пропорцио­нальное площади поверхности, которую заметает струна при своем движении, было предложено Намбу [11], а также позд­нее Хара и Гото [12]. Квантование струны было осуществлено двумя путями. В первом случае это ковариантное квантование, воспроизводящее описание физических состояний в модели Ве­нециано. Во втором подходе квантование проводится в калиб­ровке светового конуса, в которой все состояния имеют поло­жительную норму, но алгебра Лоренца реализуется нелинейно. Ограничение на размерность пространства-времени d = 26 воз­никает в этом случае как необходимое условие того, чтобы ал­гебра Лоренца оказалась надлежащим образом замкнутой. Простое объяснение критической размерности было предложено

14 Глава 1

в работе [13], в которой струна рассматривается как бесконеч­ный набор гармонических осцилляторов. Каждый осциллятор при квантовании дает вклад в флуктуацию энергии вакуума. Таким образом, вакуумная энергия осцилляторов представляется беско­нечным рядом, суммирование которого вместе с перенормиров­кой скорости света приводит к появлению критических размерно­стей. Насколько нам известно, это было первое указание на то, что квантовая теория требует конечного значения скорости света. Но вопрос о квантовании струны в случае произвольной размерности долгое время оставался нерешенным. В конце кон­цов по прошествии около десяти лет эта проблема была ре­шена Поляковым [14]. Он построил одну из возможных схем квантования, которая, как оказалось, дает возможность форму­лировать различные теории струн в четырех измерениях. Такая схема очень похожа на частный случай КХД в пределе беско­нечного числа цветов.

Обобщение действия Намбу на случай «спиновой струны», которая соответствует модели Рамона — Неве — Шварца, ока­зывается не простым. Дело в том, что такие струны должны содержать грассмановы степени свободы на классическом уров­не, а введенное выше понятие площади не обобщается на слу­чай поверхностей с антикоммутирующими степенями свободы. Трудность пропадает, если считать, что теория струн является общей теорией относительности в двумерном пространстве-вре­мени [15], которое также называют мировым листом (мировой поверхностью). С открытием четырехмерной супергравитации появилась возможность рассматривать теорию спиновой стру­ны как теорию супергравитации на двумерном мировом листе. Существует и другая интерпретация теории спиновой струны в терминах двумерных омоделей. Основные свойства спиновой струны [16] были получены задолго до того, как стало из­вестно общее действие для нее. Эти свойства явно указывали на необходимость двумерной суперсимметрии и единственности критической размерности d— 10.

Так как модель спиновой струны, очевидно, не пригодна для описания физики адронов, естественно было искать новые струнные модели. Тот факт, что данная модель основана на двумерной суперсимметрии, приводит к вопросу о возможности расширения этой симметрии. И действительно, она может быть расширена до симметрии, включающей группу SO(N) [17]. К сожалению оказалось, что только модель с группой 50(2) свободна от духов, но в этом случае критическая размерность d = 2, поэтому такая модель не представляет интереса для физики элементарных частиц [18].

Введение 15

Исходная модель Венециано содержала 5-матричные ампли­туды в борновском приближении. Когда были предприняты попытки учесть петлевые поправки к струнным амплитудам, стало ясно, что некоторые петлевые диаграммы содержат но­вый набор полюсов [19]. На самом деле новые полюса появ­ляются только при d = 26 (в других размерностях появляются разрезы, нарушающие унитарность), и это было первое указа­ние на важность критической размерности. Новая траектория имеет квантовые числа вакуума, а также в два раза больший интерсепт и половинный наклон по сравнению с ведущей "р-траекторией". Все эти характеристики являются признаками померона. Наличие этой новой траектории в модели ранее не было известно, и это вызвало большой интерес к ней. В рамках струнной картины нетрудно было понять происхождение нового набора состояний. А именно в отличие от траекторий, возни­кающих при вычислении древесных амплитуд, которые соответ­ствуют открытым струнам, новые траектории соответствуют зам­кнутым струнам. Поэтому в струнных взаимодействиях есте­ственно может возникнуть такая ситуация, при которой два конца одной струны соединяются и образуется замкнутая струна.

После того как появилась новая траектория, стал вопрос о том, как понизить квантовые числа р- и померонной траекто­рий до их физических значений, не изменив при этом отношение их интерсептов, чтобы модель оставалась последовательной. Модель Рамона — Неве — Шварца не решила эту проблему, и фактически проблема до сих пор остается нерешенной. Неуда­чи, которыми заканчивались попытки решить эту проблему, при­вели к тому, что интерес к струнным моделям для описания адронной физики постепенно сошел на нет приблизительно три­надцать лет назад. Но многие идеи, которые впервые появились в дуальных моделях, повлияли на современное понимание ка­либровочных теорий и адронной физики, основанной на КХД; например, это вихревые линии Нильсена — Ольсена [20]. По­следние были предложены в качестве примера струноподобных решений в обычной теории поля и привели к большим успехам в области непертурбативных аспектов калибровочных теорий.

В последовательной модели Венециано "р-траектория" должна иметь интерсепт, равный единице; другими словами, частицы спина 1 в этой модели должны быть безмассовыми. Неве и Шерк [21] вычислили амплитуды рассеяния для таких состояний в пределе, когда наклон траектории стремится к нулю (т. е. когда массы всех массивных состояний стремятся к бесконечности), и заметили, что в этом случае струнная S-матрица точно совпадает с S-матрицей теории Янга — Миллса.

16 Глава 1

Позднее Ионея [22], а также Шерк и Шварц [23] пока­зали, что безмассовая частица спина 2, лежащая на "померон-ной траектории", в пределе нулевого наклона взаимодействует таким образом, что может быть отождествлена с гравитоном. После этого Шерк и Шварц [23] сделали смелое предположе­ние, что струнные модели следует рассматривать как единые мо­дели, включающие гравитацию! Струны характеризуются фун­даментальной длиной L [~ (а')^1/2 ~ (Г)-^1/2, где a^f — наклон траектории Редже, а Т — натяжение струны]. В случае адрон-ной физики L выбирается порядка 10~¹³ см. Если же считать кванты струны фундаментальными квантами, включающими гравитацию и поля Янга — Миллса, то естественным масшта­бом длины в этом случае становится длина Планка и L ~ ~ 10-³³ см.

Но даже если рассматривать модель Рамона — Неве — Шварца с этой новой точки зрения, т. е. в качестве единой модели, включающей гравитацию, она все еще не является по­следовательной моделью. Дело в том, что в спектре модели со­держатся тахионы, и, следовательно, детальное изучение не­которых взаимодействий, таких как, например, взаимодействия с состоянием спина 3/2 в замкнутой струне, выявило бы про­тиворечия. Льоцци, Шерк и Олив [24] показали, однако, что тахионы могут быть устранены из модели, если рассматривать бозоны только с положительной "G-четностью". Хотя этот факт был известен и ранее, но накладывать такое условие на бо­зоны было нежелательно, поскольку в этой модели (содержа­щей тахионы) "пион" имел отрицательную "G-четность". Если же отказаться от стремления вычислять адронные амплитуды и рассматривать модель с точки зрения единой теории, то та­кой шаг становится вполне естественным. Более того, если по­требовать, чтобы фермионы удовлетворяли одновременно и вей­левскому, и майорановскому условиям, что возможно, если d=10, то, как было показано [24], число бозонных и ферми-онных степеней свободы становится равным, указывая на су­персимметричность спектра в теории. Суперсимметрия этой но­вой модели была окончательно доказана Грином и Шварцем [25]. Такие "суперструнные теории¹' были затем развиты в се­рии работ Грина и Шварца [26] частично в сотрудничестве с автором данной книги. Полученные новые суперсимметрич­ные модели фактически свободны от всех недостатков, прису­щих старым моделям. Существуют два типа новых моделей. Модель типа I, соответствующая модели Рамона — Неве — Шварца с упомянутыми выше ограничениями, содержит как открытые, так и замкнутые струны и в пределе нулевого на­клона (или бесконечного натяжения струны) соответствует

Введение 17

N= 1 -супергравитации, взаимодействующей с теорией Янга — Миллса с N=1 (для ^ = 10)- Модели типа II описывают только замкнутые струны и соответствуют N = 2-супергравита-

дии для d = 10.

Было доказано, что модели типа II конечны в однопетлевом приближении, тогда как модели типа I, по-видимому, все яв­ляются перенормируемыми в однопетлевом приближении. Эти факты выглядели очень перспективными для квантовой теории поля. Но модель типа I, а также одна из моделей типа II (а именно модель типа Иб) содержат фермионы только одной киральности, и это должно приводить к аномалиям. Тем не менее было показано, что модель типа Пб свободна от анома­лий благодаря впечатляющему сокращению вкладов в анома­лию, возникающих от киральных фермионов и от антисиммет­ричного тензора четвертого ранга [27]. Аналогичного меха­низма сокращения аномалий нельзя было ожидать для струн типа I. Но явные вычисления, проведенные Грином и Швар­цем [28], показали, что суперструна типа I с калибровочной группой 50(32) свободна от аномалий (на однопетлевом уров­не)! Поскольку аномалии возникают из-за наличия безмассо­вых киральных полей, Грин и Шварц смогли понять сокраще­ние аномалий и в теории супергравитации, которая соответ­ствует суперструне типа I. Они также показали, что тот же механизм работает и в случае калибровочной группы £₈Х^8-

Но теория струн типа I с такой калибровочной группой не может быть построена [29]. Позднее Гросс и др. [30] пока­зали, что можно построить новую струнную модель (модель гетеротической струны) путем объединения суперструны с бо-зонной струной. Такое построение жестко фиксирует выбор калибровочной группы, а именно £"₈Х^8 или 50(32)!

Таким образом, мы проследили долгий путь от мира адрон-ной физики до почти однозначной (на сегодняшний день) еди­ной теории всех взаимодействий. На этом пути было найдено довольно много новых и важных понятий, таких как, напри­мер, суперсимметрия. В ретроспективе детальное изучение лю­бого из таких понятий должно привести к теории струн. Эйн­штейновская гравитация, а также ее супергравитационные об­общения имеют одну размерную константу связи. Такие теории неперенормируемы. Если они квантуются по обычным прави­лам, то единственный способ сделать эти теории последова­тельными— это добиться, чтобы все расходимости сокраща­лись. Для эйнштейновской гравитации действительно найдены расходимости в двухпетлевом приближении [31], тогда как для супергравитационных теорий было показано, что в этом при­ближении они имеют конечную 5-матрицу. Но возможности

18 Глава 1

того, что такая конечность сохраняется во всех порядках тео­рии возмущений, не существует [32]. Одним из способов пре­одоления этой трудности является введение другой размерной постоянной. Таким параметром является натяжение струны, и это естественно приводит к струнным теориям.

Теория струн может быть описана бесконечным набором гармонических осцилляторов. При квантовании такая система приводит к бесконечным вакуумным флуктуациям. В случае свободной струны эти бесконечности могут быть перенормиро­ваны. Но взаимодействие двух струн (протяженных объектов) должно быть локальным, чтобы выполнялся принцип причин­ности, в то время как бесконечные вакуумные флуктуации бу­дут приводить к нарушению локальности [32]. Благодаря суперсимметрии, которая требует равного числа бозонных и фермионных мод, бесконечности удается сократить. Таким об­разом, в теории струн суперсимметрия действительно является необходимой.

Материал, содержащийся в следующих главах, изложен не в сортветствии с путем исторического развития, а начинается с рассмотрения свободных струн и заканчивается изложением различных взаимодействий. В этих главах описаны все основ­ные понятия и идеи теории струн, но новейшее развитие затро­нуто лишь вкратце. Другие подходы к теории струн и обзор всех современных аспектов читатель найдет в литературе [34].