Г л а в а 3. Главные линии плоскости. Способы преобразования проекций

59

наклона пластинки к плоскости П1 (линией ската). Определяя натуральную величину этой линии любым способом (один из способов – способ прямоугольного треугольника), находим угол наклона ее к плоскости П1. Этот угол и является углом наклона данной пластинки к плоскости П1.

Для определения угла наклона пластинки к плоскости П2 вместо горизонтали надо применить фронталь и далее действовать аналогично вышеописанному.

2. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ

Пространство может преобразовываться по-разному. Вместе с ним преобразуются и находящиеся в нем фигуры, причем так, что каждой точке первоначальной фигуры будет соответствовать одна и только одна точка фигуры преобразованной. Напомним, что такое преобразование называется взаимно однозначным. Рассмотрим некоторые способы таких преобразований.

2.1. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ

Под перемещением понимается такое преобразование фигур, когда все их точки, не меняя взаимного расположения, изменяют его относительно неподвижных плоскостей проекций. При плоскопараллельном перемещении все точки фигуры перемещаются в параллельных плоскостях. Рассмотрим пример такого перемещения для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения. Вначале отметим следующее: величина проекции отрезка прямой зависит от угла наклона его к плоскости проекций. Если угол наклона уменьшать, то величина проекции будет расти и сравняется с величиной самого отрезка при нулевом значении угла, т. е. тогда, когда отрезок станет параллельным плоскости проекций. И, наоборот, если угол увеличивать, то проекция отрезка будет уменьшаться и «сожмется» до точки при угле 90° (отрезок перпендикулярен плоскости). Это значит, что если перемещать отрезок прямой в пространстве так, чтобы не менялся угол его наклона к плоскости проекций, то величина проекции отрезка не изменится, а следовательно, не изменится разность расстояний концов отрезка до плоскости проекций. Из этого видно, что можно взять, например, горизонтальную проекцию A1B1 отрезка общего

положения и расположить ее в удобном месте чертежа параллельно плоскости П2 , как это показано на рис. 13.

60	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Рис. 13

Так как величина проекции не изменилась, не изменился и угол наклона отрезка к плоскости проекций, а следовательно, не изменилась и разница расстояний от концов отрезка до плоскости. Новое положение отрезка прямой дает его натуральную величину на фронтальной проекции, а также и угол наклона к плоскости П1 . Теперь можно перевести отрезок AB в проецирующее

(перпендикулярное) положение, если его фронтальную проекцию расположить вертикально (в любом удобном месте плоскости П2 ). Поскольку величина

проекции при этом не изменилась, разница расстояний от концов отрезка до П2 также не изменилась. Поэтому горизонтальная проекция отрезка прямой в

виде точки будет на таком же расстоянии от П2 , как и проекция А1′В1′.

Если необходимо получить угол наклона отрезка прямой к плоскости П2 , то следует поставить его фронтальную проекцию параллельно плоскости П1 и

далее действовать аналогично только что описанному. На рис. 14 показано определение расстояния между двумя параллельными прямыми общего положения |AB| и |CD| методом плоскопараллельного перемещения.

Сначала сделано перемещение фронтальных проекций отрезков прямых в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций, для чего они соединены между собой двумя дополнительными перпендикулярами, что по-

зволяет не нарушать их взаимосвязь. Новое положение отрезков A2′B2′ и C2′D2′ дает их натуральную величину A1′B1′ и C1′D1′. Определить расстояние между

Г л а в а 3. Главные линии плоскости. Способы преобразования проекций

61

Рис. 14

отрезками можно, если они находятся в перпендикулярном положении к плоскости. Для перемещения отрезков в это положение проекции A1′B1′ и C1′D1′ соединены между собой также двумя дополнительными перпендикулярами, что обеспечивает их неизменную взаимную связь. После перемещения горизонтальных проекций прямых до положения перпендикулярного фронтальной плоскости проекций, получаем проекции прямых на П2 в виде точек. Расстояние между этими точками и есть расстояние между данными отрезками прямых.

2.2. ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ОСЕЙ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ

Если горизонтальную проекцию A1B1 не располагать в произвольном мес-

те, как это показано на рис. 13, а просто «приставить» одним концом к любой точке – A1 или B1 параллельно плоскости Π2 (рис. 15) или, что то же самое,

повернуть вокруг оси i, перпендикулярной к Π1 и проходящей через один из

концов отрезка, то мы получим частный случай плоскопараллельного перемещения – способ вращения. При вращении отрезка точка А описывает окружность, расположенную в горизонтальной плоскости γ, а точка В, находящаяся

62	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

γ2

Рис. 15

на оси вращения, остается на месте. Таким образом определяется натуральная величина отрезка прямой и угол наклона его к Π1 . Аналогично можно найти и

угол наклона к плоскости Π2 , если вращать отрезок вокруг оси, перпендикулярной к Π2 . Вращение как в первом случае, так и во втором, может быть в любую сторону и вокруг любой оси, проходящей через любой конец отрезка.

2.3. ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ОСЕЙ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ

Пусть дана горизонталь h и точка А (рис. 16). Надо повернуть точку А вокруг этой горизонтали до положения, при котором точка и горизонталь будут лежать в одной горизонтальной плоскости.

При повороте точка А описывает окружность, расположенную в плоскости, перпендикулярной к горизонтали. На рис. 16 показан радиус AO этой окружности. Его натуральная величина определена способом прямоугольного треугольника. Она отложена на продолжении горизонтальной проекции АО1 1 ра-

диуса AO. По отмеченной точке А1′ найдена фронтальная проекция А2′ . Таким

образом, точка А оказалась повернутой вокруг горизонтали до нужного нам положения.

На рис. 17 показано определение натуральной величины треугольника ABC вращением его вокруг горизонтали. Внешняя горизонталь h, проведенная через точку С, позволяет оставить ее и точку 1 неподвижными.

Г л а в а 3. Главные линии плоскости. Способы преобразования проекций

63

Рис. 16

Рис. 17

Натуральная величина радиуса OB окружности, по которой вращается точка B, получена способом прямоугольного треугольника. Построение вершины А в повернутом положении видно из чертежа.