Г л а в а 14. Аксонометрические проекции

323

5. СТАНДАРТНЫЕ ВИДЫ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ

На практике пользуются аксонометрическими проекциями, которые обеспечивают простоту построений. Для них стандартизованы углы между осями, показатели искажений и т. д.

Согласно ГОСТ 2.317–69 из прямоугольных аксонометрических проекций рекомендуется применять прямоугольные изометрию и диметрию, из косоугольных – фронтальную и горизонтальную изометрические проекции, а также фронтальную диметрическую проекцию.

Наиболее распространенными аксонометрическими проекциями являются прямоугольные.

Приведем краткие сведения об этих проекциях.

5.1. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ИЗОМЕТРИЯ

Показатели искажений по трем осям одинаковы: u = v = w. Плоскость аксонометрических проекций наклонена к координатным осям под равными углами и отсекает на всех трех осях равные отрезки ОА′ = ОВ′ = ОС′. В этом случае треугольник следов А′В′С′ равносторонний (рис. 5).

Рис. 5

324	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

В теории ортогональных аксонометрических проекций доказывается, что аксонометрические оси являются высотами треугольника следов. Из элементарной геометрии известно, что в равностороннем треугольнике высоты попарно пересекаются между собой под углом 120°. Поэтому совпадающие с ними аксонометрические оси в ортогональной изометрии образуют между собой углы в 120°. Обычно ось z принимают вертикальной. Мы уже знаем, что

в прямоугольной аксонометрии u2 + v2 + w2 = 2, а в изометрии u = v = w. Это значит, что 3u2 = 2, откуда

u =	2	≈0,82,
	3

т. е. изометрический масштаб измерения равен 0,82 натурального.

Значения координат любой из точек пространства при построении ее аксонометрической проекции надо умножать на коэффициент 0,82, а соответствующие этим числам отрезки откладывать по направлениям аксонометрических осей.

На практике при построении аксонометрических изображений коэффициент искажения берут равным единице. Изометрические изображения тогда становятся увеличенными в 1,22 раза (1 : 0,82 = 1,22).

На рис. 6 показано построение изометрической проекции точки А. Построение осей выполнено с помощью окружности произвольного радиуса R.

Рис. 6

Г л а в а 14. Аксонометрические проекции

325

5.1.1. ОКРУЖНОСТЬ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ИЗОМЕТРИИ

Построим изометрическую проекцию куба (рис. 7). Аксонометрические оси x′, y′, z′ совпадают с направлением ребер куба. Очевидно, грани куба (квадра-

ты) изобразятся ромбами, а окружности – эллипсами. Центры симметрии

Рис. 7

квадратов (окружностей) в изометрии являются центрами симметрии ромбов (эллипсов). Диаметры окружностей, параллельные координатным осям, изображаются сопряженными диаметрами эллипсов (их величина равна диаметру окружности). Из прямоугольного треугольника B′K′A′ , расположенного в верхней грани куба (на рис. 8 он показан отдельно), имеем

BA′′KK′′ = tg 30° = 0,58.

Очевидно, что и отношение полуосей эллипса то же: ba = 0,58 , откуда b = 0,58a.

Здесь большая ось эллипса равна диаметру d окружности, т. е. 2а = d, а малая ось 2b = 0,58 · 2a = 0,58d. Если не учитывать показателей искажения, все

326	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

d – диаметр окружности r – радиус окружности

Рис. 8

размеры изображения увеличиваются в 1,22 раза. Увеличиваются и оси эллипсов:

2a = 1,22d;

2b = 1,22 · 0,58d = 0,71d.

Таким образом, у эллипса: большая ось равна 1,22d; малая ось равна 0,71d.

На рис. 7 эти увеличенные оси помечены своими половинами – 1,22r и 0,7r.

Рис. 9

Г л а в а 14. Аксонометрические проекции

327

Величины осей эллипса можно определить графически (рис. 9). Малая ось эллипса СD равняется хорде, стягивающей одну четвертую часть изображаемой окружности диаметром d.

Концы А и В большой оси находят засечками из центров C и D радиусом

R = CD.

Направление большой оси эллипса в прямоугольной аксонометрии всегда перпендикулярно к той оси, которая отсутствует в плоскости изображаемой окружности: А′В′ z′ в плоскости x′O′y′, А′В′ y′ в плоскости x′O′z′, А′В′ x′ в плоскости y′O′z′ (рис. 10).

Рис. 10

Эллипсы целесообразно строить по следующему плану:

•найти проекцию центра эллипса;

•через найденную точку провести прямую, перпендикулярную соответствующей аксонометрической оси, и на ней отложить по обе стороны от проекции центра по 1,22R, где R – радиус окружности;

•провести прямую, перпендикулярную большой оси, и на ней от проекции центра по обе стороны отложить по 0,7R;

•на прямых, параллельных аксонометрическим осям, отложить отрезки длиной r;

328	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

• полученные таким образом восемь точек соединить плавной кривой линией.

Изометрические проекции применяют в тех случаях, когда элементы предмета по трем взаимно перпендикулярным направлениям одинаково важны.

5.1.2.ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА

ВПРЯМОУГОЛЬНОЙ ИЗОМЕТРИИ

Построить прямоугольную изометрию прямого кругового цилиндра с вырезом и сквозным отверстием цилиндрической формы (рис. 11). Вырез образован плоскостями: профильной α и фронтально проецирующей β . Плоскость

α пересекает верхнее основание цилиндра по линии 1−1′, которая проецируется в натуральную величину на горизонтальной проекции. Фронтально проецирующая прямая, получающаяся от пересечения плоскостей α и β, ограни-

чена на цилиндрической поверхности точками 2 −2′. Следовательно, площадка, образованная сечением цилиндра плоскостью α , представляет прямоугольник 1−1′– 2′−2 .

Плоскость β, наклоненная к оси цилиндра, пересекает его поверхность по

эллипсу, большой осью которого является отрезок АВ, а величина малой оси CD равна диаметру цилиндра. В нашем случае эллипс будет неполным, так как ограничен линией 2 −2′. Горизонтальная проекция эллипса совпадает с горизонтальной проекцией цилиндрической поверхности – окружностью.

Для построения изометрии цилиндра вначале соотносим его на ортогональном чертеже с прямоугольной системой декартовых координат, обозначив оси буквами x , y , z . Начало координат удобно поместить в центре ок-

ружности нижнего основания. Теперь на свободном месте чертежа проводим направления аксонометрических осей x′ , y′ , z′ для прямоугольной изо-

метрии.

Определив величины большой и малой осей эллипса (графический способ показан на рис. 9), построим нижнее и верхнее основания цилиндра, а затем весь цилиндр в тонких линиях с изображением вертикальной площадки в виде прямоугольника 1−1′– 2′−2 .

При построении эллипса, получаемого сечением цилиндра плоскостью β,

отмеченных характерных точек	′	A − B, C − D недостаточно, поэтому
	2 −2 ,

отметим хотя бы еще пару точек 3 −3′. Для удобства построения их в аксонометрии пусть они находятся на равном расстоянии от осей x , y , что видно на

Г л а в а 14. Аксонометрические проекции

329

Рис. 11

горизонтальной проекции цилиндра, где показан угол 45°. Построение аксонометрической проекции любой точки объекта делается посредством измерения ее координат на ортогональном чертеже и нанесения их значений на соответствующие аксонометрические оси. Это показано для одной из отмеченных на контуре цилиндрического выреза точки 10. Соединив построенные таким образом точки в аксонометрии плавными кривыми линиями, получим изображение эллипса с его осями: большой – АВ и малой – CD и цилиндрического отверстия.