- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ
- •Элберт Хаббард
- •ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
- •ГЛАВА 1
- •ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В ТЕОРИИ ИЗОБРАЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
- •1. ЧТО ТАКОЕ НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ?
- •2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ – ИНСТРУМЕНТ ПОЗНАНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ
- •4. ПРОЕКЦИОННОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ – АНАЛОГ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ
- •Свойства центрального проецирования
- •Свойства параллельного проецирования
- •5. МЕТОД ДВУХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
- •6. МОДЕЛЬ ТОЧКИ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЯХ
- •ВЫВОДЫ
- •ПРЯМАЯ ЛИНИЯ И ПЛОСКОСТЬ
- •1. ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
- •3. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ
- •4. ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
- •5. РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСНОВНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
- •Проецирующая плоскость
- •Плоскость уровня
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •Задача № 1
- •Порядок выполнения
- •Задача № 2
- •Порядок выполнения
- •Задача № 3
- •Порядок выполнения
- •Задача № 4
- •Порядок выполнения
- •Задача № 5
- •Порядок выполнения
- •ГЛАВА 3
- •СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ
- •1. ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ПРЯМОЙ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ
- •1.1. ПРЯМАЯ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПЛОСКОСТИ
- •1.2. ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ
- •Линии уровня
- •Линии наибольшего наклона плоскости
- •2. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ
- •2.1. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ
- •2.2. ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ОСЕЙ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ
- •2.3. ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ОСЕЙ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ
- •2.4. ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ОСЕЙ, ЛЕЖАЩИХ В ПЛОСКОСТЯХ ПРОЕКЦИЙ (СОВМЕЩЕНИЕ С ПЛОСКОСТЯМИ ПРОЕКЦИЙ)
- •2.5. ЗАМЕНА ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •ГЛАВА 4
- •ОБОБЩЕННЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
- •1.1. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТИ
- •1.2. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ, ПЕРЕСЕКАЮЩАЯ ПЛОСКОСТЬ (ОБЩИЙ СЛУЧАЙ)
- •1.3. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ
- •2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ
- •2.1. ПЛОСКОСТИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ
- •2.2. ПЛОСКОСТИ ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ (ОБЩИЙ СЛУЧАЙ)
- •2.3. ПЛОСКОСТИ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ
- •3. ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ
- •4. ОБОБЩЕННЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
- •4.1. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
- •4.2. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •4.3. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •Задача № 1
- •Порядок выполнения
- •Задача № 2
- •Порядок выполнения
- •Задача № 3
- •Порядок выполнения
- •Задача № 4
- •Порядок выполнения
- •Задача № 5
- •Порядок выполнения
- •ГЛАВА 5
- •1. ОБ АНАЛОГИИ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ «ФУНКЦИЯ» И «ОТОБРАЖЕНИЕ»
- •2. ПЕРСПЕКТИВНАЯ КОЛЛИНЕАЦИЯ
- •Теорема Дезарга
- •Гомология
- •3. ПЕРСПЕКТИВНО-АФФИННОЕ (РОДСТВЕННОЕ) СООТВЕТСТВИЕ
- •4. СРАВНЕНИЕ ДВУХ ГОМОЛОГИЙ
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •Порядок выполнения
- •ГЛАВА 6
- •ПРОЕКЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ТРЕХМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ
- •1. ВНЕШНЯЯ ФОРМА ПРЕДМЕТОВ И НЕОБХОДИМОСТЬ ВЫЯВЛЕНИЯ ИХ ВНУТРЕННИХ КОНТУРОВ
- •2. СИСТЕМЫ РАСПОЛОЖЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ
- •3. ВИДЫ
- •3.1. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ
- •3.2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВИДЫ
- •3.3. МЕСТНЫЕ ВИДЫ
- •4. РАЗРЕЗЫ
- •4.1. ВИДЫ РАЗРЕЗОВ
- •4.2. ОБОЗНАЧЕНИЕ РАЗРЕЗОВ
- •5. СЕЧЕНИЯ
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •Задача № 1
- •Порядок выполнения
- •Задача № 2
- •Порядок выполнения
- •КРИВЫЕ ЛИНИИ
- •1. СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ КРИВЫХ ЛИНИЙ
- •2. КЛАССИФИКАЦИЯ КРИВЫХ ЛИНИЙ
- •3. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ КРИВЫХ ЛИНИЙ
- •4. КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ К КРИВОЙ ЛИНИИ
- •5. УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ
- •6. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ
- •7. КРИВИЗНА КРИВОЙ
- •8. КРУГ КРИВИЗНЫ
- •9. ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВЕНТА
- •10. КРИВИЗНА ОКРУЖНОСТИ
- •11. КРИВЫЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- •11.1. ЭЛЛИПС
- •11.2. ПАРАБОЛА
- •11.3. ГИПЕРБОЛА
- •12. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
- •13. ПРОЕКЦИИ КРИВЫХ ЛИНИЙ
- •14. ЭЛЛИПС – ФИГУРА, РОДСТВЕННАЯ ОКРУЖНОСТИ
- •15. ОКРУЖНОСТЬ В ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •15.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ МАЛОЙ ОСИ ЭЛЛИПСА МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
- •15.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ МАЛОЙ ОСИ ЭЛЛИПСА С ПРИМЕНЕНИЕМ ЛИНИИ НАИБОЛЬШЕГО НАКЛОНА ПЛОСКОСТИ
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •Порядок выполнения
- •ГЛАВА 8
- •КРИВЫЕ ЛИНИИ, ИМЕЮЩИЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ.
- •ОБВОДЫ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •1. НЕКОТОРЫЕ ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ, ИМЕЮЩИЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ
- •1.1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
- •Циклоида
- •Эпициклоиды
- •Гипоциклоиды
- •1.2. СПИРАЛИ
- •1.3. ПОДЕРЫ
- •2.ПЛОСКИЕ СОСТАВНЫЕ КРИВЫЕ ЛИНИИ (ОБВОДЫ) ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •2.1. АППРОКСИМАЦИЯ ТОЧЕЧНЫХ МАССИВОВ
- •2.3. ХАРАКТЕРНЫЕ ТОЧКИ КРИВЫХ
- •2.4. ПОРЯДОК ГЛАДКОСТИ ОБВОДОВ
- •2.5. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ОБВОДОВ
- •2.5.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ДУГАМИ ОКРУЖНОСТЕЙ
- •2.5.2. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ КРИВЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- •2.5.3. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ОБВОДОВ СПЛАЙН-ФУНКЦИЯМИ
- •ВЫВОДЫ
- •ГЛАВА 9
- •МНОГОГРАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И МНОГОГРАННИКИ.
- •СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •1. МНОГОГРАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
- •2. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ МНОГОГРАННИКОВ
- •3. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКА ПЛОСКОСТЬЮ
- •5. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ
- •6. РАЗВЕРТКИ МНОГОГРАННИКОВ
- •6.1. СПОСОБ НОРМАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
- •6.2. СПОСОБ РАСКАТКИ
- •6.3. СПОСОБ ТРЕУГОЛЬНИКОВ (ТРИАНГУЛЯЦИИ)
- •7. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •Порядок выполнения
- •СЛОЖНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
- •1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ
- •2. СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •2.1. ОБРАЗОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИ ПОМОЩИ ДВИЖУЩЕЙСЯ ЛИНИИ
- •2.2. ОБРАЗОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИ ПОМОЩИ ДВИЖУЩЕЙСЯ ПОВЕРХНОСТИ
- •3. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •3.1. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •3.2. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •3.3. ПРИМЕР АНАЛИТИЧЕСКОГО СПОСОБА ЗАДАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ
- •4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •4.1. ТРЕХГРАННИК ФРЕНЕ
- •4.2. ЕСТЕСТВЕННЫЕ КООРДИНАТЫ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ
- •5. КРИВЫЕ ЛИНИИ НА СФЕРЕ
- •6. КАСАТЕЛЬНЫЕ И НОРМАЛИ К ПОВЕРХНОСТИ ПРИ ОБРАБОТКЕ ЕЕ НА СТАНКАХ С ЧПУ
- •7.2. КАРКАСНО-КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПРОЕКТИРОВАНИЯ
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •Порядок выполнения
- •ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ И ВИНТОВЫЕ
- •1. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
- •3. ПРИМЕРЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ
- •3.1. СФЕРА
- •3.2. ЦИЛИНДР ВРАЩЕНИЯ
- •3.3. КОНУС ВРАЩЕНИЯ
- •3.4. ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ
- •4. ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
- •4.1. ПРЯМОЙ ГЕЛИКОИД
- •4.2. ДРУГИЕ ВИДЫ ВИНТОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •Порядок выполнения
- •ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
- •1. СПОСОБ ОБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ДВИЖЕНИЕМ ПРЯМОЙ ЛИНИИ
- •2.1. КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
- •2.2. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
- •3. ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
- •3.1. ЦИЛИНДРОИД
- •3.2. КОНОИД
- •3.3. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД (КОСАЯ ПЛОСКОСТЬ)
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •Порядок выполнения
- •ГЛАВА 13
- •РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •1. ПЛОСКОСТЬ, КАСАТЕЛЬНАЯ К ПОВЕРХНОСТИ
- •1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
- •1.2. ПОСТРОЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
- •2. РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •2.1. ПОРЯДОК ПОСТРОЕНИЯ РАЗВЕРТОК В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
- •2.2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РАЗВЕРТЫВАЮЩИХСЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •2.3. ПРИМЕРЫ РАЗВЕРТЫВАНИЯ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •Прямой круговой цилиндр
- •Наклонный цилиндр
- •Конус
- •2.4. РАЗВЕРТКИ НЕРАЗВЕРТЫВАЮЩИХСЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •Задача № 1
- •Порядок выполнения
- •Задача № 2
- •Порядок выполнения
- •Задача № 3
- •Порядок выполнения
- •Создание конуса с вырезом
- •Создание развертки
- •Задача № 4
- •Порядок выполнения
- •АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
- •1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
- •2. СУТЬ СПОСОБА ПОЛУЧЕНИЯ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
- •5. СТАНДАРТНЫЕ ВИДЫ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
- •5.1. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ИЗОМЕТРИЯ
- •5.1.1. ОКРУЖНОСТЬ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ИЗОМЕТРИИ
- •5.2. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ДИМЕТРИЯ
- •6. КОСОУГОЛЬНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
- •6.1. ФРОНТАЛЬНАЯ ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
- •6.2. ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
- •6.3. ФРОНТАЛЬНАЯ ДИМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
- •ВЫВОДЫ
- •ГЛАВА 15
- •1. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ МАКРОГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕХНИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ
- •1.3. ЗАДАНИЕ РАЗМЕРОВ
- •1.3.1. БАЗИРОВАНИЕ И БАЗЫ
- •1.3.2. КОЛИЧЕСТВО РАЗМЕРОВ ДЛЯ ПОЛНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФОРМЫ ДЕТАЛЕЙ
- •1.3.3. РАЗМЕРЫ ФОРМЫ И РАЗМЕРЫ ПОЛОЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •1.3.4. КОНСТРУКТИВНАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ БАЗ
- •1.4. НАНЕСЕНИЕ РАЗМЕРОВ
- •1.5. ОСЕВЫЕ И ЦЕНТРОВЫЕ ЛИНИИ
- •2. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ МИКРОГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕХНИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •Задача № 1
- •Задача № 2
- •Порядок выполнения
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 9
МНОГОГРАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И МНОГОГРАННИКИ.
СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Многогранные поверхности ≈ Некоторые виды многогранников ≈ Пересечение многогранника плоскостью ≈ Пересечение прямой линии с многогранной поверхностью ≈ Взаимное пересечение многогранников ≈ Развертки многогранников ≈ Способ нормального сечения ≈ Способ раскатки ≈ Способ треугольников (триангуляции) ≈ Систематизация
поверхностей
1. МНОГОГРАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Поверхность называется многогранной, если она образована частями пересекающихся плоскостей (граней).
Образование некоторых многогранных поверхностей подчинено определенным законам. Так, например, если прямая а (образующая) движется по ломаной направляющей b, оставаясь все время параллельной самой себе, то по-
лучается призматическая поверхность (рис. 1).
Если прямолинейная образующая а движется по ломаной направляющей ABCD и проходит через фиксированную точку S, то получается пирамидальная поверхность (рис. 2). Призматическая поверхность является частным случаем пирамидальной, у которой точка S находится в бесконечности. В том предельном случае, когда направляющая ломаная становится криволинейной, призматическая поверхность превращается в цилиндрическую, а пирамидальная – в коническую.
Г л а в а 9. Многогранные поверхности и многогранники. Систематизация поверхностей |
199 |
Рис. 1
Рис. 2
2. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ МНОГОГРАННИКОВ
Из многогранных поверхностей можно образовать замкнутые пространства разных конфигураций. Если считать, что эти пространства заполнены точками или каким-то материалом, то их можно считать телами.
Тело, ограниченное многогранной поверхностью, называется многогранником. Линии пересечения граней многогранника называются ребрами, а вершины граней – вершинами многогранника.
200 |
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ |
Из всего разнообразия многогранников наибольший практический интерес вызывают призмы,
пирамиды, правильные многогранники и их разновидности.
Многогранник, все грани которого правильные и равные многоугольники, называется метрически правильным. Углы при вершинах такого многогранника равны между собой.
Правильные многогранники исследовал Платон, поэтому их называют по его имени – телами Плато-
на. Таких тел пять: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
Рис. 3 Тетраэдр – правильный четырехгранник. Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (рис. 3). Это правильная треугольная пирамида. Каждая из четырех граней
тетраэдра может быть выбрана в качестве его основания.
Гексаэдр – правильный шестигранник, т. е. куб, состоящий из шести равных квадратов (рис. 4).
Октаэдр – правильный восьмигранник (рис. 5).
Рис. 4
Рис. 5
Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины.
Додекаэдр – правильный двенадцатигранник (рис. 6), состоит из 12 правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины.
Г л а в а 9. Многогранные поверхности и многогранники. Систематизация поверхностей |
201 |
Икосаэдр – состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пяти около каждой вершины (рис. 7).
Рис. 7
Рис. 6
Число граней Г, вершин В и ребер Р любых выпуклых многогранников связано между собой по знаменитой теореме Эйлера:
Г + В – Р = 2,
т. е. у всякого выпуклого многогранника число граней плюс число вершин минус число ребер равно двум.
3. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКА ПЛОСКОСТЬЮ
Различают два способа построения сечения многогранника плоскостью:
•способ ребер – определяются вершины фигуры сечения;
•способ граней – определяются стороны фигуры сечения.
Какому из способов следует отдать предпочтение, надо решать в каждом конкретном случае.
Способ ребер: вершины многоугольника (фигуры сечения) определяются многократным решением первой позиционной задачи – построением точек пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью. На рис. 8 показан пример определения линии пересечения пирамиды плоскостью общего положения α, выраженной следами. Дело сводится к нахождению точек пересечения ребер с плоскостью, т. е. к задаче на пересечение прямой с плоскостью. Рас-
202 |
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ |
смотрим нахождение точки L, в которой ребро SB пересекает плоскость α. Выполним следующие действия: 1) через SB проводим вспомогательную плоскость, в данном случае горизонтально проецирующую β; 2) находим прямую
линию пересечения 1–2 плоскостей α и β; 3) находим точку L в пересечении прямых SB и 1–2.
Рис. 8
Теперь, видя, что ребро SA расположено параллельно плоскости П2, проводим через него вспомогательную фронтальную плоскость δ. Она пересекает плоскость α по ее фронтали с начальной точкой 3; в пересечении этой фронтали с ребром SA получаем точку K.
Г л а в а 9. Многогранные поверхности и многогранники. Систематизация поверхностей |
203 |
Далее обратим внимание на то, что проекция А1С1 параллельна горизонтальному следу плоскости α и является частью горизонтального следа плоскости грани SAC. А если у двух плоскостей горизонтальные следы взаимно параллельны, то линия пересечения таких плоскостей – их общая горизонталь. Поэтому мы можем провести через уже найденную точку K прямую, параллельную ребру АС, и так найти точку М. Если бы не было этих особенностей, то следовало бы поступать аналогично построению точки L.
Рис. 9
204 |
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ |
Способ граней сводится к применению вспомогательных плоскостей, проходящих через соответствующие грани многогранника. На рис. 9 показано пересечение прямой четырехгранной призмы плоскостью, заданной пересекающимися в точке E горизонталью и фронталью. Обозначим эту плоскость буквой δ.
При пересечении получается четырехугольник, вершины которого представляют собой точки пересечения ребер призмы с плоскостью δ . Так как призма прямая, то горизонтальная проекция фигуры сечения определяется сразу: она накладывается на горизонтальную проекцию призмы. Фронтальную проекцию фигуры сечения определим так:
1)через грань AD проведем вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость α, которая пересекает плоскость δ по линии 1–2. Пересечение этой линии с ребрами A и D дает точки K и L фигуры сечения;
2)через грань ВС проведем еще одну вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость β, которая позволяет найти аналогично еще две точки
M и N фигуры сечения.
На фронтальной проекции видимая часть линии пересечения находится на обращенных к зрителю видимых гранях.
4.ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ
СМНОГОГРАННОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
При пересечении поверхности призмы или пирамиды прямой линией получаются две точки. Чтобы определить эти точки, следует провести через данную прямую вспомогательную плоскость и построить линию пересечения ее с гранями (это будет замкнутая ломаная линия); в пересечении полученной линии с данной прямой отметить точки, которые и являются искомыми. На рис. 10 показано построение точек пересечения прямой линии с поверхностью пирамиды.
Через прямую, заданную отрезком АВ, проведена вспомогательная фронтально проецирующая плоскость α. Фронтальная проекция фигуры сечения пирамиды этой плоскостью сливается с ее фронтальным следом-проекцией; горизонтальная проекция сечения найдена построением. Точки пересечения горизонтальной проекции отрезка АВ с горизонтальной проекцией фигуры сечения представляют собой горизонтальные проекции искомых точек; по най-
денным горизонтальным проекциям K1 и М1 построены фронтальные проекции K2 и М2.
Г л а в а 9. Многогранные поверхности и многогранники. Систематизация поверхностей |
205 |
Рис. 10