ГЛАВА 7 КРИВЫЕ ЛИНИИ

Способы образования кривых линий ≈ Классификация кривых линий ≈ Способы задания кривых линий ≈ Касательная и нормаль к кривой линии ≈ Уравнения касательной и нормали ≈ Вектор-функция ≈ Кривизна кривой ≈ Круг кривизны ≈ Эволюта и эвольвента ≈ Кривизна окружности ≈ Кривые линии второго порядка ≈ Эллипс ≈ Парабола ≈ Гипербола ≈ Конические сечения ≈ Проекции кривых линий ≈ Эллипс – фигура, родственная окружности ≈ Окружность в плоскости общего положения ≈ Определение величины малой оси эллипса с помощью понятия родственного соответствия ≈ Определение величины малой оси эллипса методом замены плоскостей проекций ≈ Определение величины малой оси эллипса с применением линии наибольшего наклона

плоскости

Инженеры для задания очертаний проектируемых изделий, а также деталей, входящих в них, широко применяют поверхности, получаемые кинематическим способом: поверхность образуется движением некоторой линии, которая, перемещаясь в пространстве по определенному закону, может менять свою форму. Свойства поверхности в этом случае во многом зависят от такой линии – ее непрерывности, гладкости и т. п. В связи с этим инженерупроектировщику необходимо уметь конструировать плоские и пространственные линии нужного качества.

Общее определение кривой представляет трудности, поэтому термин «кривая» в разных разделах математики дается по-разному и имеет свое, более конкретное выражение. Так, например, в геометрии кривая – это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной пере-

Г л а в а 7. Кривые линии

141

менной. В начертательной геометрии кривую рассматривают в зависимости от способа ее образования. Таких способов существует несколько. Рассмотрим некоторые из них.

1. СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ КРИВЫХ ЛИНИЙ

Кривая линия может быть образована:

•как траектория точки, движущейся в плоскости или в пространстве. За такую точку может быть принято острие карандаша или ручки, проводящее линию на листе бумаги, летящий метеорит, снаряд, самолет и другой движущийся объект. Это кинематический способ образования кривой;

•как замена исходного дискретного множества точек, указанных какимлибо образом, например, в результате экспериментов, или являющихся узловыми точками контура объекта, заданного проектировщиком, т. е. кривой линией, обладающей определенными свойствами. Это образование кривой назы-

вается аппроксимацией;

•как огибающая движущейся в пространстве прямой линии;

•как результат пересечения двух поверхностей, из которых хотя бы одна – кривая;

•как результат пересечения кривой поверхности плоскостью.

2. КЛАССИФИКАЦИЯ КРИВЫХ ЛИНИЙ

Среди множества линий имеется всего лишь одна прямая линия и необозримое разнообразие различных кривых. Эти кривые линии можно подразделить по некоторым признакам, хотя единой классификации нет. Так, например, по расположению в пространстве кривые линии разделяют на два класса: плоские и пространственные. Пример плоской кривой – окружность, пример пространственной кривой – винтовая линия, ее невозможно разместить в одной плоскости.

По возможности описания кривые линии разделяют на закономерные и незакономерные. В свою очередь закономерные линии подразделяют на алгебраические (задаются в декартовых координатах алгебраическими уравнениями

142	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ
f (x, y) = 0 , где	f (x, y) – целый многочлен), например эллипс, парабола, ги-

пербола, и трансцендентные (задаются неалгебраическими уравнениями), например, синусоиды, спираль Архимеда и др.

(Трансцендентное число – иррациональное число, не могущее быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, например, числа π, e – иррациональные (трансцендентные.)

Незакономерные кривые линии задаются только графически. Алгебраические кривые подразделяют по порядку, классу и роду (жанру)*. Порядок кривой: алгебраически – высшая степень уравнения; геометри-

чески – максимальное число точек пересечения с прямой линией (рис. 1).

Эллипс	Циссоида	Лемниската Бернулли
n = 2	n = 3	n = 4
		Рис. 1

У трансцендентных кривых понятия порядка нет, так как n = ∞ . С понятием порядка связана теорема: алгебраическая кривая n-го порядка опреде-

ляется заданием	n(n +3)	ее точек. Так, кривая второго порядка задается
	2

пятью точками, третьего – девятью и т. д. Число n(n2+3) называют парамет-

рическим.

Класс кривой – степень уравнения в тангенциальных координатах. Тангенциальные координаты в отличие от точечных (декартовых, поляр-

ных, барицентрических и т. д.) применяют тогда, когда за основной элемент плоскости принимается прямая.

* Понятие о роде (жанре) здесь не рассматривается.

Г л а в а 7. Кривые линии

143

Тангенциальные координаты – это коэффициенты u и v в уравнениях прямых ux + vy + 1 = 0, касающихся данной алгебраической кривой, проведенных из одной точки.

В этом случае кривая – это не множество точек, а линия, огибающая множество прямых. Поэтому класс алгебраической кривой графически определяется числом касательных, которые можно провести к этой кривой из произвольной точки, не лежащей на ней (рис. 2).

Рис. 2

Порядок и класс не совпадают, кроме как для кривых второго порядка. Класс пространственной кривой определяется числом касательных плоскостей, которые можно провести к данной кривой через прямую пространства.

Порядок, класс и жанр кривой взаимосвязаны и зависят от ее характерных особенностей – точек перегиба, двойных касательных и т. д.

3. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ КРИВЫХ ЛИНИЙ

Различают графический, табличный и аналитический способы задания кривых. До широкого применения ЭВМ для воспроизведения сложных кривых использовались графический и табличный способы задания. Эти способы сложны, трудоемки, точность ограничена – они не удовлетворяют современному проектированию.

Внастоящее время применяют аналитический способ. Однако для развития пространственного воображения и формирования конструктивно-геометричес- кого мышления и сейчас в учебных целях применяются графические способы задания кривых.

Вначертательной геометрии кривые задаются своими проекциями. Иногда этих проекций недостаточно. Тогда для определенности надо указать проек-