ГЛАВА 4

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ И ПРЯМЫХ ЛИНИЙ. ОБОБЩЕННЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

Взаимное расположение прямой линии и плоскости ≈ Прямая линия, параллельная плоскости ≈ Прямая линия, пересекающая плоскость (общий случай) ≈ Прямая линия, перпендикулярная плоскости ≈ Взаимное расположение плоскостей ≈ Плоскости параллельные ≈ Плоскости пересекающиеся (общий случай) ≈ Плоскости взаимно перпендикулярные ≈ Взаимно перпендикулярные прямые ≈ Обобщенные позиционные задачи ≈ Пересечение кривой линии с поверхностью ≈ Пересечение

поверхностей ≈ Пересечение поверхностей второго порядка

1.ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ

ИПЛОСКОСТИ

1.1. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТИ

Известно положение стереометрии: прямая линия параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости.

На рис. 1 показана прямая l и плоскость (треугольник ABC). Прямая l параллельна плоскости, так как ее проекции l1 и l2 параллельны соответствующим проекциям n1 и n2 прямой n, находящейся в плоскости.

Г л а в а 4. Взаимное расположение плоскостей и прямых линий. Позиционные задачи

73

Рис. 1

1.2. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ, ПЕРЕСЕКАЮЩАЯ ПЛОСКОСТЬ (ОБЩИЙ СЛУЧАЙ)

Нахождение точки пересечения линии с плоскостью является одной из основных задач начертательной геометрии.

Пусть необходимо определить точку пересечения прямой линии l с плоскостью α (рис. 2, а).

а

б

Рис. 2

74 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Задача решается в такой последовательности (рис. 2, б):

а) прямую l заключают во вспомогательную плоскость γ, чаще всего – проецирую-

щую;

б) строят линию пересечения MN вспомогательной плоскости γ с данной плоско-

стью α;

в) отмечают точку K пересечения линии l с построенной линией MN.

В такой же последовательности решается задача в эпюре, показанном на рис. 3.

		Обратите внимание на то, что если вспомо-
		гательная плоскость горизонтально проеци-
	Рис. 3	рующая, то первой из двух будет определена
		фронтальная проекция искомой точки. Приме-

няя же фронтально проецирующую плоскость, сначала находят горизонтальную проекцию K1 , а затем K2.

1.3. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ

Известно, что прямая линия перпендикулярна плоскости, если ее расположить под прямым углом к любым двум пересекающимся прямым этой плоскости, так как если она перпендикулярна только одной линии, то этого условия явно недостаточно. Новогодняя елка, перпендикулярная только одной прямой на полу, не стоит вертикально (рис. 4, а). Она сразу же становится в вертикальное положение, если ее поставить под прямым углом не к одной, а к двум пересекающимся прямым плоскости (к крестовине) (рис. 4, б).

а

б

Рис. 4

Рис. 5

Г л а в а 4. Взаимное расположение плоскостей и прямых линий. Позиционные задачи

75

На рис. 5 показана плоскость, заданная двумя пересекающимися прямыми – горизонталью и фронталью. Из точки А надо провести линию а, перпендикулярную этой плоскости.

Линия, перпендикулярная плоскости, должна быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, которыми в данном случае являются горизонталь и фронталь.

Прямой угол между линией a и горизонталью h проецируется на Π1 в натуральную величину, так

как одна его сторона – горизонталь h – параллельна плоскости проекций (на основании особенности проецирования прямого угла).

Прямой угол между линией а и фронталью f

проецируется на Π2 тоже в натуральную величину, так как одна его сторона –

фронталь – параллельна плоскости проекций.

Отсюда вывод: горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция – перпендикулярна фронтальной проекции фронтали. Кратко можно записать:

a1 h1 , a2 f2 .

Определение точки пересечения перпендикуляра с плоскостью на рис. 5 не показано. Оно может быть выполнено, например, так, как это было показано на рис. 3.

2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельными, либо пересекающимися (в частном случае под прямым углом).

2.1. ПЛОСКОСТИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ

Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (рис. 6).

76	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Или:

•две плоскости параллельны, если горизонтали и фронтали одной плоскости соответственно параллельны горизонтали и фронтали другой плоскости;

•две плоскости параллельны, если следы одной плоскости соответственно параллельны следам другой плоскости (рис. 7);

Рис. 6

Рис. 7

• две плоскости частного положения параллельны, если параллельны их следы-проекции (рис. 8).

Допустим, что надо построить плоскость, проходящую через точку A , параллельно плоскости α общего положения, заданной следами (рис. 9).

Рис. 8

Рис. 9

Искомую плоскость можно задать двумя пересекающимися прямыми, из которых одна является горизонталью, а другая – фронталью. Они должны быть со-

Рис. 11

Г л а в а 4. Взаимное расположение плоскостей и прямых линий. Позиционные задачи

77

ответственно параллельными горизонтали и фронтали заданной плоскости, которые в данном случае являются нулевыми, т. е. совпавшими со следами.

Если искомую плоскость задавать следами, то для этого необходимо:

• через точку А (рис. 10) провести, например, горизонталь параллельно данной плоскости α;

Рис. 10

•найти точку 1 пересечения горизонтали с фронтальной плоскостью проекций;

•через эту точку провести фронтальный след β2 искомой плоскости β

параллельно фронтальному следу α2 ;

• через точку βx схода следов провести горизонтальный след β1 параллельно горизонтальному следу α1 .

Если первая плоскость задана двумя пересекающимися прямыми l ∩ m (рис. 11), то вторую плоскость, проходящую через точку А параллельно первой, удобно задать также двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными прямым l и m.

Если заданы две плоскости и надо проверить, параллельны ли они между собой, то для этого следует проверить взаимную параллельность их горизонталей и фронталей.

При этом, если оказалось, что только одна из указанных линий не параллельна соответствующей ей линии, дальнейшую проверку проводить не следует.