258 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Первая образующая лежит в плоскости xОy, один конец которой (на оси z ) имеет координаты x1 и y1 , а второй (на винтовой линии) – x2 и y2 . Подставив

в уравнение (3) значения x1 = 0 и y1 = 0 (для оси z ), x2 = R cos ϕ и y2 = R sin ϕ (для произвольной точки на винтовой линии), получим:

	x	=	y	.
	R cos ϕ		R sin ϕ

Координата z для произвольной точки винтовой линии: z = pϕ = 2hπϕ.

Таким образом, уравнение каркаса образующих прямого геликоида имеет вид

x

=

y

,

(4)

R cos ϕ

R sin ϕ

z =

h

ϕ.

(5)

2π

Если исключить параметр ϕ, получим уравнение в неявной форме:

x

=

y

.

R cos 2πz

R sin

2πz

h

h

Здесь значение ϕ =

2πz

взято из (5) и подставлено в (4).

h

4.2.ДРУГИЕ ВИДЫ ВИНТОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Взависимости от того, как расположена прямолинейная образующая относительно оси винта, различают: АРХИМЕДОВУ, ЭВОЛЬВЕНТНУЮ И КОНВОЛЮТНУЮ винтовые поверхности.

АРХИМЕДОВА ВИНТОВАЯ поверхность получается при винтовом движении прямой l , пересекающей ось винта под непрямым углом (рис. 19). Все точки образующей, кроме одной, перемещаются по цилиндрическим винтовым линиям. На рис. 19 построена винтовая линия, описываемая точкой А. Одна точка, в которой образующая пересекает ось поверхности, в винтовом движении не участвует. Эта точка (точка B) движется только вдоль оси

Г л а в а 11. Поверхности вращения и винтовые

259

поверхности, причем при повороте образующей на угол ϕ = 360º/n точка В вместе с прямой смещается вдоль оси на 1/n часть шага h.

B23

B22

Рис. 19

Соединив точки винтовой линии А1, А2, А3, ..., Аn соответственно с точками В1, В2, В3, ..., Вn, расположенными на оси, получим множество прямых, пред-

260	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

ставляющее собой архимедову винтовую поверхность. Сечение такой поверхности плоскостью α, перпендикулярной ее оси, дает спираль Архимеда. Эта поверхность (архимедов винт) используется в различных машинах для перемещения сыпучих материалов, для перемешивания вязких жидкостей, в винтовых конвейерах и т. п.

Форму архимедовой винтовой поверхности имеют червячные фрезы, применяемые для нарезания зубчатых колес, рабочие поверхности червяков червячной передачи. Поверхность резьбовых изделий также представляет собой архимедову винтовую поверхность.

ЭВОЛЬВЕНТНАЯ ВИНТОВАЯ поверхность представляет собой множество касательных к цилиндрической винтовой линии (гелисе), которая, как известно, является ребром возврата. Это частный случай торсовой (развертывающейся) поверхности; если такую поверхность пересечь плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра, то в сечении получим эвольвенту, эволютой которой является окружность – ортогональная проекция ребра возврата на ту же плоскость. На рис. 20 схематично показано образование эвольвентной винтовой поверхности.

Рис. 20

Прямолинейная образующая, совершая винтовое движение, касается некоторого цилиндра радиусом R0. Этот радиус должен быть равен кратчайшему расстоянию между осью и образующей. Примеры применения винтовой эвольвентной поверхности: откосы насыпи и выемки полотна железной дороги на кривой с подъемом, поверхности косых зубьев цилиндрических шестерен,

Г л а в а 11. Поверхности вращения и винтовые

261

рабочие поверхности эвольвентных червяков в редукторах, поверхности режущих кромок червячных фрез для нарезания зубьев шестерен и червячных колес.

КОНВОЛЮТНАЯ ВИНТОВАЯ поверхность образуется движением прямолинейной образующей, скользящей по винтовой линии на цилиндре и остающейся касательной к последнему. Угол δ наклона образующей к горизонтальной плоскости не равен углу α подъема винтовой линии. Поверхность относится к числу открытых винтовых поверхностей. Нормальное сечение этой поверхности в зависимости от того, больше или меньше угол δ по отношению к углу α, будет удлиненной или укороченной эвольвентой окружности радиусом, не равным радиусу r основного цилиндра. В отличие от эвольвентного геликоида, конволютный геликоид является не развертывающейся (косой) линейчатой поверхностью.

Если образующие параллельны горизонтальной плоскости и перпендикулярны оси геликоида (угол δ = 0 ), то такая поверхность относится к разряду цилиндроидов* – образующая скользит по двум направляющим винтовым линиям и остается параллельной горизонтальной плоскости. Геликоид такого типа называется винтовым цилиндроидом. Среди разнообразных типов червячных передач применяются конволютные червячные передачи. Рабочие поверхности в этих передачах – конволютные геликоиды с углом δ ≠ 0 .

Ценным свойством винтовых поверхностей, определившим их широкое применение в технике, является свойство сдвигаемости. Оно заключается в том, что поверхность, сдвигаясь при вращении вдоль самой себя, не деформируется, поэтому винтовые поверхности используют в резьбах. На рис. 21 показаны профили поверхностей в резьбовых изделиях.

Две цилиндрические

Прямой геликоид

Рис. 21

* О цилиндроидах и других линейчатых поверхностях см. главу 12.