ГЛАВА 8
КРИВЫЕ ЛИНИИ, ИМЕЮЩИЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ.
ОБВОДЫ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Некоторые плоские кривые, имеющие практическое применение ≈ Циклические кривые ≈ Спирали ≈ Подеры ≈ Кривые линии в природе (жук-геометр) ≈ Плоские составные кривые линии (обводы) при проектировании поверхностей ≈ Аппроксимация точечных массивов ≈ Форма аналитически заданной кривой и ее анализ ≈ Характерные точки кривых ≈ Порядок гладкости обводов ≈ Основные способы построения обводов ≈ Интерполяция дугами окружностей ≈ Интерполяция кривыми второго порядка ≈ Интерполяция обводов
сплайн-функциями
1. НЕКОТОРЫЕ ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ, ИМЕЮЩИЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ
1.1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
Циклические кривые составляют обширный класс кривых, образованных траекториями точек окружности, катящейся без скольжения по дуге другой окружности. Катящуюся окружность называют подвижной центроидой или производящей окружностью, а неподвижную – неподвижной центроидой. Кривые линии, построенные с помощью центроид, называют рулеттами (от франц. rouler – катать) или трохоидами.
172 |
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ |
Циклоида
Рулетту называют циклоидой*, если она образована точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой линии. Эту линию (неподвижную центроиду) рассматривают как дугу окружности с бесконечно большим радиусом.
Предполагая, что подвижная центроида неограниченно долго катится по прямой линии, получим кривую, состоящую из бесконечного ряда арок (рис. 1). Арки соединяются между собой в наинизших точках циклоиды – в точках возврата (вершинах острия).
Рис. 1
Арку циклоиды строят так: на направляющей прямой откладывают отрезок, равный длине производящей окружности, и делят его на n равных частей. В точках делений восставляют перпендикуляры. На то же число равных частей делят производящую окружность и через них проводят прямые, параллельные направляющей. Когда производящая окружность из положения О переместит-
ся в положение О1, точка 8 поднимется до параллели 7. Из центра О1 радиусом
r окружности засекают точку на параллели 7, из центра О2 засекают точку на параллели 6 и т. д. Через полученные точки проводят плавную кривую. Построение касательной в произвольной точке М циклоиды видно из чертежа.
Параметрическое уравнение циклоиды имеет вид x = r (t – sin t), y = r (1 + cos t),
где r – радиус производящей окружности.
* Первым, кто стал изучать циклоиду, был Галилео Галилей (1564–1642). Он же придумал название ЦИКЛОИДА, что значит «напоминающая о круге».
Г л а в а 8. Кривые линии, имеющие практическое применение. Обводы при проектировании |
173 |
С циклоидой связана история изобретения маятниковых часов, которое сделал голландский математик и механик Христиан Гюйгенс (1629–1695). Мысль о том, что качающееся тело (маятник) можно использовать для регулирования хода часов, высказал Галилей. Однако ему создать часы с маятником не удалось, а вскоре выяснилось, что период колебания маятника тем больше, чем больше размах. Кроме того, из-за неизбежного трения оси и сопротивления воздуха размах колебаний обыкновенного маятника все время уменьшается, а значит, будет уменьшаться и период его колебаний. Гюйгенс придумал, какое приспособление нужно сделать круговому маятнику, чтобы у него был постоянный размах (постоянная амплитуда). Но он решил и другую задачу – ответил на вопрос, по какой кривой должна двигаться точка, чтобы период ее колебания не зависел от амплитуды (т. е. чтобы время качания не зависело от величины размаха). Этой кривой оказалась циклоида (при ее исследовании было создано также учение об эволюте).
Опуская математические выкладки, можно проиллюстрировать ход рассуждений Гюйгенса в упрощенном виде. Представим себе поверхность в виде желоба в форме циклоиды (рис. 2). На поверхность желоба поместим три тяжелых шара на разной высоте и каким-то образом зафиксируем их в этих положениях. Если один из шаров освободить от фиксации, то он, скатываясь
Рис. 2
вниз и поднимаясь с противоположной стороны, а затем снова скатываясь, будет напоминать качание маятника. Если же одновременно освободить все три
174 |
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ |
шара, то возникает вопрос: какой из шаров первым достигнет наинизшей точки? Эксперимент и расчеты показывают, что все три шара достигнут наинизшей точки одновременно. Это значит, что в идеальном случае, когда трение и сопротивление воздуха отсутствуют, то с какой бы точки циклоиды (высоты) ни начинал движение шар, период его колебаний будет один и тот же. Именно за это циклоиду называют «кривой равных времен» – таутохроной («таутохрона» – греческое слово «равновременная»).
Гюйгенс придумал устройство, в котором движение центра тяжести маятника осуществляется по этой кривой (при этом он пришел к понятиям об эволюте и эвольвенте). Чтобы пояснить идею Гюйгенса, рассмотрим рис. 3, приведенный в работе [21]. На нем показан шаблон (изготовленный, например, из дерева), состоящий из двух одинаковых полуарок циклоиды, имеющих общую точку O. Радиус производящей окружности циклоиды обозначим через а. Шаблон укрепим вертикально и в точке O привяжем нить, по длине равную 4а, т. е. удвоенному диаметру производящей окружности циклоиды (4а взято из математических выкладок, о которых выше было сказано, но здесь они не приводятся). Свободный конец нити снабжен тяжелым шариком. Шарик будет описывать при своем движении развертку циклоиды ACOEB, потому что нить будет наматываться на шаблон. Но разверткой циклоиды служит точно такая же циклоида. Значит, кривая BMTPA, по которой движется шарик, будет циклоидой, порожденной окружностью радиусом а.
Рис. 3