Г л а в а 8. Кривые линии, имеющие практическое применение. Обводы при проектировании |
185 |
Рис. 19 Рис. 20
Разумеется, жучок-геометр решает эту далеко не простую задачу бессознательно. В течение многих лет естественный отбор сохранял преимущественно тех жучков, домики которых были особенно аккуратны. В результате возник инстинкт, передающийся по наследству из поколения в поколение. Этот инстинкт заставляет насекомое решать сложную геометрическую задачу, не зная геометрии.
2.ПЛОСКИЕ СОСТАВНЫЕ КРИВЫЕ ЛИНИИ (ОБВОДЫ) ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
2.1. АППРОКСИМАЦИЯ ТОЧЕЧНЫХ МАССИВОВ
При проектировании сложных технических объектов возникает необходимость определять конфигурацию их поверхностей. Особенно это важно для изделий, движущихся в сопротивляющейся среде, например, таких, как самолеты, автомобили, морские и речные суда, подводные лодки, ракеты и др.
В основе определения поверхностей таких изделий лежат методы построения плоских гладких контуров. Эти контуры представляют собой сложные кривые, которые задать во всех точках с определенной закономерностью невозможно. Например, генеральный конструктор на основе личного опыта и интуиции может задать очерк летательного аппарата вручную. Очерк пред-
186 |
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ |
ставляет собой кривую линию, состоящую из массива точек. Для передачи информации об этом массиве в документацию возникает задача замены его другим, близким к нему массивом, но подчиняющимся определенным закономерностям. Такая замена называется аппроксимацией (от лат. аpproximare – приближаться).
Рис. 21
При аппроксимации больших точечных массивов используют обводы, когда каждый участок очерка заменяют дугами известных кривых с очень высокой степенью точности и состыковывают их между собой. Кривые линии, составленные из дуг различных кривых, состыкованных между собой определенным образом, называются обводами. Точки стыка дуг обвода называются узлами обвода (риc. 21). Обводы могут быть не только плоскими, но и пространственными, если точки (узлы обвода) расположены в пространстве.
2.2.ФОРМА АНАЛИТИЧЕСКИ ЗАДАННОЙ КРИВОЙ
ИЕЕ АНАЛИЗ
Новые детали, агрегаты, изделия, которые проектирует конструктор, должны удовлетворять определенным требованиям. Он изображает сначала отдельные элементы проектируемого объекта, а затем и весь объект. При этом для проведения кривых, ограничивающих поверхности объекта, у конструктора обычно бывает небольшое число начальных условий. Такими условиями могут быть: координаты некоторых точек, значения тангенсов углов наклона касательных, радиусов кривизны в некоторых точках и т. п. Для компенсации недостаточности этих условий ему приходится использовать свои опыт и интуицию.
Рассмотрим пример, приведенный в работе Ю.В. Поликарпова и др. [12], с некоторыми сокращениями. Пусть необходимо провести кривую, проходящую
Г л а в а 8. Кривые линии, имеющие практическое применение. Обводы при проектировании |
187 |
через четыре точки: А, В, С, D (рис. 22). При этом в начальной точке касательная к кривой горизонтальная, а в конечной – вертикальная. Очевидно, что с учетом заданных условий можно провести бесчисленное множество кривых,
Рис. 22
среди которых будут и кривые а и b. Эти кривые, обеспечивая соблюдение заданных условий, отличаются друг от друга по своей форме, при этом под формой понимают характер поведения кривой на рассматриваемом участке, который определяется всей совокупностью исходных данных и природой кривой линии. Конструктору приходится выбирать кривую той или иной формы в зависимости от условий решаемой задачи. Так, в задачах аэродинамики нужной
188 |
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ |
формой кривой считается такая, при которой достигаются повышенная гладкость и плавность изменения. В задачах общего машиностроения оптимальной формой кривой может считаться, например, кривая, обеспечивающая минимальный вес детали при максимальной прочности. На рис. 23 показан станок, у которого имеются очертания в виде параболы. Построение параболы для подобного очертания показано на рис. 24. Исходными данными для построения являются две точки параболы А и В и направление касательных, проходящих через эти точки и пересекающихся в точке С. Каждую касательную (АС и ВС) делят на одинаковое число равных частей. Прямые, соединяющие одинаково обозначенные точ-
Рис. 23 ки, являются касательными, обертывающими параболу.
Рис. 24
Когда проектирование кривой выполняется с помощью ЭВМ, необходимо уметь формулировать условия ее желаемой формы. Для этого нужно знать критерии оценки формы кривой, соблюдая которые, ЭВМ смогла бы спроектировать кривую заданной формы.
Под качественной оценкой можно понимать число особых точек и количество интервалов знакопостоянства кривизны кривой. Такую оценку можно провести с помощью второй производной, которая является аналогом кривизны. Число и последовательность смены знака второй производной определяют форму кривой.