156 |
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ |
Покажем способ построения эллипса по точкам. Величины а и b представляем в заданном масштабе отрезками AB и CD на осях x и y (рис. 17). Из точки С, как из центра, радиусом а проводим дугу окружности, которая пересекает
отрезок AB = 2а в точках FA и FB. Эти точки являются фокусами эллипса. Из фокусов, как из центров, проводим дуги окружностей соответственно радиусами r и 2а – r, где r < а имеет произвольную длину. Точка Е пересечения окружностей является точкой эллипса, так как сумма расстояний от нее до фокусов равна 2а. Изменяя радиус r и повторяя построения, получаем новые точки эллипса. Для построения эллипса средствами компьютерной графики достаточно знать только величины его осей.
11.2. ПАРАБОЛА
Парабола – плоская кривая, каждая точка которой равноудалена от директрисы DD1 – прямой, перпендикулярной оси симметрии параболы, и от фокуса F – точки, расположенной на оси симметрии параболы (рис. 18). Расстояние KF между директрисой и фокусом называется параметром Р параболы. Точка О, лежащая на оси симметрии, называется вершиной параболы и делит параметр Р пополам.
Рис. 18
Г л а в а 7. Кривые линии |
157 |
Построение параболы по величине параметра Р:
1)отрезок KF делят пополам – это вершина О;
2)от вершины О вниз по оси отмечают ряд произвольных точек I, II, III, …;
3)проводят перпендикуляры к оси через эти точки;
4)на этих прямых из F делают засечки радиусом, равным расстоянию от прямой до директрисы.
Рис. 19
Если требуется построить параболу по заданной вершине О, оси ОС и точке В (рис. 19), то строят вспомогательный прямоугольник ABCО. Стороны прямоугольника AB и АО делят на равные части и точки делений нумеруют. Горизонтальный ряд делений соединяют лучами с вершиной О, а через точки делений, расположенные на АО, проводят прямые линии, параллельные оси
параболы. Точки пересечения горизонтальных прямых 11, 21, 31, … с лучами О–1, О–2, О–3, … принадлежат параболе.
11.3. ГИПЕРБОЛА
Гипербола – плоская кривая, состоящая из двух разомкнутых, симметрично расположенных ветвей (рис. 20).
Разность расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов F и F1 есть величина постоянная и равная расстоянию между вершинами гиперболы А и В.
158 |
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ |
На рисунке показано построение гиперболы по точкам А и В и фокусному расстоянию FF1.
Рис. 20
Разделив FF1 пополам, получают точку О, от которой в обе стороны откладывают по половине заданного расстояния между вершинами А и В. Вниз от фокуса F намечают ряд произвольных точек 1, 2, 3, … с постоянно увеличивающимся расстоянием между ними. Из фокуса F описывают дугу вспомогательной окружности радиусом R, равным, например, расстоянию от вершины
гиперболы В до точки 3. Из фокуса F1 проводят вторую дугу вспомогательной окружности радиусом r, равным расстоянию от вершины А до точки 3. На пересечении этих дуг находят точки С и С1, принадлежащие гиперболе. Таким же способом находят остальные точки гиперболы. Вторую ветвь гиперболы строят аналогичным образом.
Г л а в а 7. Кривые линии |
159 |
12. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
Кривые линии, описываемые уравнениями, не наглядны, они маскируют их свойства.
Для вскрытия более общих и глубоких свойств геометрических фигур, и в частности кривых линий, привлекается мощный аппарат проективной (проекционной) геометрии. Так, кривые линии второго порядка рассматриваются в виде конических сечений, получающихся в результате сечения конической поверхности вращения плоскостью. Пусть дана некоторая плоскость α (рис. 21).
Рис. 21
1.Возьмем в этой плоскости окружность l.
2.Через ее центр проведем перпендикуляр к плоскости.
3.На перпендикуляре возьмем произвольную точку S.
4.Примем точку S за центр проецирования.
5.Проецируя все точки окружности из S, получим поверхность прямого кругового конуса (в обе стороны от S).
6.Будем пересекать конус плоскостями разных положений.