ГЛАВА 2 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ И ПЛОСКОСТЬ

Положение прямой в пространстве (Прямая общего положения. Прямые частного положения) ≈ Длина и угол наклона отрезка прямой (способ прямоугольного треугольника) ≈ Взаимное положение двух прямых ≈ Положение плоскости в пространстве ≈ Расположение плоскости относительно плоскостей проекций (Плоскость общего

положения. Плоскость частного положения)

Изображения предметов состоят из линий и точек. Знание теории проекционных отображений этих геометрических образов служит необходимым условием грамотного выполнения чертежей реальных технических предметов не только вручную на бумаге, но и в любом графическом редакторе в системе САПР (САПР – это система автоматизированного проектирования, о которой будет идти речь позднее).

Здесь мы рассмотрим положение прямых и плоскостей в пространстве, их взаимное положение, определение длины и угла наклона прямых. В дальнейшем вместо «прямая линия» будем иногда говорить «прямая».

1. ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

Простейшей линией является прямая. Она безгранична в пространстве. Ограниченная часть прямой называется отрезком.

На рис. 1 показан параллелепипед, построенный на основе трех проецирующих лучей, выходящих из точки А. На этом параллелепипеде удобно рассмотреть различные положения прямой в пространстве.

Г л а в а 2. Прямая линия и плоскость

27

Рис. 1

Прямая общего положения

Если прямая не параллельна ни одной из основных плоскостей проекций, то она называется прямой общего (произвольного) положения.

Такой прямой является диагональ А1Аz параллелепипеда. Покажем эту диагональ отдельно от других линий без отрезка EF, но с помеченной на ней произвольно выбранной точкой K: на рис. 2, а – наглядно, а на рис. 2, б – на эпюре.

Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются СЛЕДАМИ прямой: точка А1 – горизонтальный след прямой, точка Аz – фронтальный след прямой.

а

б

Рис. 2

28	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

На рис. 3 показан отрезок EF прямой общего положения, продолженного до пересечения с плоскостями П1 и П2. В результате получены следы прямой: горизонтальный след – точка М и фронтальный след – точка N.

а

б

Рис. 3

Приведем некоторые способы задания прямой в аналитической форме.

1. Прямая в пространстве может определяться как линия пересечения двух плоскостей и задаваться системой двух линейных уравнений (общими уравнениями плоскостей):

А1х + В1у + С1z + D1 = 0,
А2х + В2у + С2z + D2 = 0.	(1)

Последовательно исключая координаты x, y, z из этих уравнений, получим три однородных линейных уравнения первой степени, определяющих ПРОЕКЦИИ прямой. Для задания прямой достаточно использовать только два из них (рис. 4).

Рис. 4

Г л а в а 2. Прямая линия и плоскость

29

2.Прямая, проходящая через определенную точку пространства М0(x0, y0, z0)

внаправлении вектора а(l, m, n) (рис. 5), выражается каноническим уравнением

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

,

(2)

l

m

n

где l, m, n – направляющие параметры прямой.

Если обозначить

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

= t, то полу-

l

m

n

чим ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ уравнение прямой, про-

Рис. 5

ходящей через точку M0(x0, y0,

z0)

в направлении

вектора а(l, m, n):
x = x0 +lt ;
y = y0 +mt ;	(3)
z = z0 +nt .

Здесь t – произвольно изменяющийся параметр, а x, y, z – функции от t.

При изменении t координаты x, y, z меняются так, что точка М(x, y, z) движется по данной прямой. Параметрические уравнения удобны при нахождении точки пересечения прямой с плоскостью.

3. Задание прямой в векторной форме показано на рис. 6.

Рис. 6

30	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Уравнение прямой, проходящей через точку M0 вдоль единичного вектора u, имеет вид

r = r0 + λu.

(4)

Различные точки на прямой отличаются друг от друга значением параметра λ. Вектором, задающим направление прямой, может быть и не единичный вектор.

4. Аналитические модели проекции прямых. Если в пространстве выделены две точки А(xA, yA, zA) и B(xB, yB, zB), то тем самым задан отрезок прямой |AB|. Чтобы построить или рассчитать любое количество образующих линию точек, лежащих внутри, либо вне отрезка прямой, надо установить закон соответствия одних координат другим. Этот закон выражается в виде определителя:

x − xA	y − yA	z − zA		= 0 .
xB − xA	yB − yA	zB − zA

Выделим часть определителя, задающую горизонтальную проекцию прямой:

x − xA	y − yÀ		= 0 .
xB − xA	yB − yA

Уравнение горизонтальной проекции прямой имеет вид

(x – xA) (yB – yA) – (xB – xA)(y – yA) = 0.

Выделим часть определителя, задающую фронтальную проекцию прямой:

x − xA	z − zA		= 0.
xB − xA	zB − zA

Уравнение фронтальной проекции прямой имеет вид

(x – xA) (zB – zA) – (хB – xA) (z – zA) = 0.

Если в этих уравнениях придавать значения х из множества х [xA, xB], то можно построить проекции прямой.

Аналитические зависимости позволяют определять координаты любого числа точек (массива), принадлежащих прямой линии. Эти уравнения являют-

Г л а в а 2. Прямая линия и плоскость

31

ся аналитическими моделями проекций прямых, следовательно, они могут служить в качестве машинных алгоритмов для реализации их с помощью ЭВМ.

Прямые частного положения

Рассмотрим теперь другие прямые параллелепипеда, которые являются линиями частного положения. Одни из них называются линиями УРОВНЯ, другие – ПРОЕЦИРУЮЩИМИ.

Прямые линии	Линии, параллельные	какой-либо одной из плоскостей
уровня	проекций, называются	линиями уровня.

Горизонтальная прямая – прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций.

На рис. 7, а показана одна из множества таких линий, находящихся в верхней грани параллелепипеда, – диагональ А2А3 с отмеченным на ней отрезком NM. На рис. 7, б показан эпюр этой диагонали.

а

б

Рис. 7

Фронтальная прямая – прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций. На рис. 8, а показана одна из множества таких линий, находящихся на

передней грани параллелепипеда, – диагональ А1А3 с отмеченным на ней отрезком LK. На рис. 8, б показан эпюр этой диагонали.

32	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

а

б

Рис. 8

Профильная прямая – прямая, параллельная профильной плоскости проекций. На рис. 9, а показана одна из множества таких линий, находящихся на ле-

вой грани параллелепипеда, – диагональ А2А1 с отмеченным на ней отрезком PR. На рис. 9, б показан эпюр этой диагонали.

	а	б
		Рис. 9
Прямые	Линии, перпендикулярные какой-либо одной из плоско-
проецирующие	стей проекций, называются ПРОЕЦИРУЮЩИМИ.

Г л а в а 2. Прямая линия и плоскость

33

Горизонтально проецирующая прямая – это прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, например, ребро АА1 параллелепипеда (рис. 10). На нем отмечена произвольная точка K.

а

б

Рис. 10

Фронтально проецирующая прямая – это прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, например, ребро АА2 параллелепипеда (рис. 11). На этом ребре показана произвольная точка K.

а

б

Рис. 11

Профильно проецирующая прямая – прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций, например, ребро AА3 параллелепипеда (рис. 12). На этом ребре показана произвольная точка K.

34	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

а

б

Рис. 12

2. ДЛИНА И УГОЛ НАКЛОНА ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ (СПОСОБ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА)

На рис. 13 схематично показана вертикально стоящая труба. Она закреплена для устойчивости тремя растяжками, выходящими из точки А к точкам В, С

Рис. 13

Г л а в а 2. Прямая линия и плоскость

35

и D. Необходимо определить длины этих растяжек и углы наклона к поверхности земли.

Для решения поставленной задачи рассмотрим рис. 14. На нем показан отрезок АВ прямой линии, наклоненной к горизонтальной плоскости П1 под углом α°. Один конец отрезка (точка А) лежит в плоскости. Спроецировав под прямым углом конец В отрезка на П1, получим прямоугольный треугольник A1B1B. У него гипотенуза АВ – натуральная величина отрезка, а катет А1В1 – горизонтальная проекция этого отрезка на П1. Повернем треугольник вокруг катета A1B1 до совмещения с плоскостью П1.

Рис. 14

Такое совмещение показывает, что если к одной из крайних точек горизонтальной проекции отрезка прямой (катет А1В1) «приставить» под прямым углом разность высот его концов (ZB – ZA), то можно получить натуральную величину отрезка (гипотенуза A1B0 треугольника) и угол α° наклона к плоскости П1. Такое построение показано на эпюре (рис. 15).

На рис. 16 наглядно изображено определение величины отрезка прямой, когда ни один его конец не совпадает с плоскостью, а на рис. 17 это определение показано на эпюре.

36	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Рис. 15

Рис. 16

Рис. 17

Теперь вам предлагается самостоятельно решить приведенную задачу. Допустим, что нам понадобилось бы в той же задаче определить угол наклона троса АВ к вертикальной стене.

На рис. 18 показано определение величины отрезка прямой и угла наклона ее к плоскости П2. Мы видим, что разность расстояний от концов отрезка до П2 отложена под прямым углом к фронтальной проекции отрезка.