104	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

ВЫВОДЫ

1.Геометрическим аналогом однозначной «функции» является «отображение».

2.Отображение может быть неоднозначным.

3.Для устранения неоднозначности вводится понятие о «несобственных» (бесконечно удаленных) геометрических элементах.

4.Взаимно однозначное соответствие плоских полей при центральном проецировании называется перспективной КОЛЛИНЕАЦИЕЙ, т. е. операция проецирования устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками двух плоскостей.

5.Прямая линия, полученная в пересечении плоскостей, называется ОСОБОЙ ПРЯМОЙ, или ОСЬЮ КОЛЛИНЕАЦИИ. Каждая точка ее является двойной точкой (сама точка и ее проекция совпадают).

6.Если у двух треугольников прямые, соединяющие соответственные вершины, пересекаются в одной точке, то точки пересечения соответственных сторон принадлежат одной прямой (теорема Дезарга).

7.Взаимно однозначное соответствие двух совмещенных плоскостей называется ГОМОЛОГИЕЙ.

8.Взаимно однозначное соответствие двух плоскостей, установленное параллельным проецированием, называется ПЕРСПЕКТИВНО-АФФИННЫМ (РОДСТВЕННЫМ).

9.Все свойства перспективной коллинеации сохраняются и добавляются свойства параллельного проецирования: параллельность прямых и отношение отрезков параллельных прямых.

10.Соответствие, установленное в пространстве между двумя плоскостями параллельным проецированием, сохраняется и при СОВМЕЩЕНИИ плоскостей. В результате такого совмещения получается тоже ГОМОЛОГИЯ.

11.Параллельное прямоугольное проецирование, применяемое при получении эпюра Монжа, является частным случаем перспективно-аффинного (родственного) соответствия. Однако этот частный случай является основным при построении изображений в инженерной графике.

УПРАЖНЕНИЕ

Используя свойства родственного соответствия, построить тень от кромок одного геометрического тела на наклонную плоскость другого геометрического тела по направлению АА′. Размеры элементов геометрических тел назначить самостоятельно, ориентируясь в их пропорциях (по рис. 15) [19].

Г л а в а 5. Соответствие плоских полей при центральном и параллельном проецировании

105

Рис. 15

Порядок выполнения

Тень точки А на плоскости П′ считается заданной, так что известно положение точки А′. Имея две соответственные точки А и А′ и ось родства – прямую m, не представляет труда найти точки B′, С′, D′, E′, родственные точкам В, С, D и E. При определении этих точек повторяются построения, показанные на рис. 13. Так, точку С′, родственную точке С, можно найти с помощью прямых СС0 и С0C′, соответственно параллельных прямым АА0 и А0А′. Аналогично можно построить тени других точек.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

ИСАМОПОДГОТОВКИ

1.Что такое перспективная коллинеация?

2.Что такое гомология?

3.Что такое перспективно-аффинное соответствие?

4.Чем задается перспективная коллинеация на эпюре?

5.Являются ли на эпюре горизонтальная и фронтальная проекции одной и той же фигуры фигурами, родственными между собой?