ГЛАВА 10 СЛОЖНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Определение поверхности ≈ Способы образования поверхностей ≈ Образование поверхностей при помощи движущейся линии ≈ Образование поверхностей при помощи движущейся поверхности ≈ Способы задания поверхностей ≈ Графический способ задания кинематических поверхностей ≈ Аналитический способ задания поверхностей ≈ Пример аналитического способа задания поверхности ≈ Дифференциальная геометрия поверхностей ≈ Трехгранник Френе ≈ Естественные координаты пространственной кривой ≈ Кривые линии на сфере ≈ Касательные и нормали к поверхности при обработке их на станках с ЧПУ ≈ Обводы поверхностей и методы их проектирования ≈ Каркаснокусочный метод проектирования ≈ Каркасно-кинематический метод

проектирования

Все многообразие деталей машиностроения в подавляющем большинстве представляет собой регулярные или близкие к ним поверхности в виде цилиндров, конусов, сфер, параллелепипедов, обработанных по наружным или внутренним поверхностям в основном на металлорежущих токарных, карусельных, фрезерных и шлифовальных станках. Однако в промышленности существует относительно небольшое количество деталей, имеющих иррегулярную форму, довольно сложные кривые поверхности и выполняющих ответственное назначение: детали фюзеляжа самолета, корпуса автомобиля, лопатки турбин и др. Их изготавливают в настоящее время на станках с ЧПУ. Кроме машиностроительных изделий сложные кривые поверхности имеют инженерные сооружения (здания, мосты, тоннели и пр.).

Мы ознакомимся с некоторыми аспектами проектирования таких поверхностей, которые являются самыми сложными объектами начертательной геометрии.

Г л а в а 10. Сложные поверхности

219

Проектирование поверхностей является важной и сложной инженерной задачей, которую невозможно решить без знаний начертательной геометрии.

1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ

Вматематике под поверхностью подразумевают непрерывное множество точек, между координатами которых (в декартовой системе) может быть установлена зависимость F(x, y, z) = 0 (многочлен n-й степени или форма какойлибо трансцендентной функции).

Поверхность можно рассматривать как совокупность последовательных положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону или случайно. Поверхность можно также представить как общую часть двух смежных областей пространства. Существуют и другие представления о поверхности и ее образовании.

Если принять, что положение линии непрерывно меняется с течением времени t и принять t за параметр, то поверхность можно рассматривать как непрерывное однопараметрическое множество линий. В свою очередь линия определяется как непрерывное однопараметрическое множество точек, поэтому можно сказать: поверхностью называется непрерывное двухпараметрическое множество точек.

Взависимости от вида линий, закона их образования и распределения в пространстве получаются поверхности разных видов.

Множество точек или линий, определяющих поверхность, называется ее каркасом: точечным в первом случае и линейным – во втором.

2.СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Наиболее распространены два способа (кинематические):

1)при помощи движущийся линии;

2)при помощи движущейся поверхности.

220	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

2.1. ОБРАЗОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИ ПОМОЩИ ДВИЖУЩЕЙСЯ ЛИНИИ

Пусть некоторая линия l (называемая образующей поверхности) непрерывно перемещается в пространстве, занимая последовательно положения l1, l2,…ln (рис. 1). Эта линия может быть неизменной или непрерывно менять свою форму. Каждая точка А, принадлежащая линии l, при своем перемещении опишет некоторую траекторию m, которую можно назвать направляющей линией. Совокупность линий l и m образует каркас поверхности, или сеть. Такой способ образования поверхностей называется кинематическим и является основным в начертательной геометрии. Он также широко используется в технике, например, так происходит формообразование поверхностей при обработке деталей на металлорежущих станках с линейным контактом режущего инструмента (резца, фрезы и т. п.) и заготовки. В этом случае поверхность детали несет на себе «отпечаток» профиля инструмента, т.е. поверхность можно рассматривать как множество линий, конгруэнтных профилю резца. Поверхности, образованные таким способом, называются кинематическими.

Рис. 1

Если учесть непрерывность перемещения образующей, а следовательно, непрерывность и самой поверхности, то можно сделать очень важный для теории поверхностей вывод: через любую точку М поверхности можно провести

пару кривых l М и m M, принадлежащих семействам линий l i и m i на поверхности. В этом случае каркас называется непрерывным.

Г л а в а 10. Сложные поверхности

221

2.2. ОБРАЗОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИ ПОМОЩИ ДВИЖУЩЕЙСЯ ПОВЕРХНОСТИ

Образование поверхностей сложных форм при помощи движущейся поверхности показано в работе [19]. Cледуя ходу рассуждений, изложенных в этой работе, рассмотрим примеры получения поверхностей таким образом. Пусть некоторая поверхность F (называемая производящей) перемещается в

пространстве, занимая ряд положений F 1, F 2, … (рис. 2).

Рис. 2

Совокупность всех положений поверхности F (F 1, F 2, …) образует семей-

ство Σ, огибающей которого будет поверхность Φ. Кривые m1, m2, …, вдоль которых огибающая касается каждой поверхности семейства, называются характеристиками. Огибающую поверхность Φ можно рассматривать как множество характеристик, заполняющих всю эту поверхность. Каждая характеристика представляет собой не только линию касания огибающей и производящей поверхности, но и линию пересечения двух бесконечно близких по-

верхностей семейства Σ. Такие две бесконечно близкие поверхности Ft1 и

Ft1+ t и линия их пересечения m изображены на рис. 3.

Огибающая поверхность может касаться производящей поверхности не только по линии (например, ковша обычного или роторного экскаватора

222	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Рис. 3

при рытье траншей, каналов, проходке тоннелей, как это примерно выглядит на рис. 2), но и по точке (обработка некоторой выпуклой поверхности торцом сферической или пальцевой фрезы).

Вид касания (по линии или по точке) зависит от числа параметров, определяющих семейство производящих поверхностей. Огибающая однопараметрического семейства поверхностей касается производящей поверхности по линии. Если число независимых параметров, фиксирующих положение производящей поверхности, равно двум, то касание будет точечным.

Поясним этот факт примерами. Пусть производящей поверхностью служит сфера постоянным радиусом r, центр которой перемещается по некоторой прямой m. Семейство Σ сфер в этом случае будет однопараметрическим, так как положение центра сферы на прямой определяется одной координатой – одним параметром. Огибающая такого семейства – цилиндрическая поверхность, так как с каждой сферой контактирует по окружности. Двухпараметрическое семейство сфер образуется при движении центра производящей сферы не по линии, а по поверхности.

Пусть центр сферы перемещается в плоскости xOy так, что параметры a и b перемещений центра в направлении осей x и y являются независимыми. Это означает, что координаты центра сферы могут принимать любые значения независимо друг от друга. Огибающей так созданного двухпараметрического се-

Г л а в а 10. Сложные поверхности

223

мейства сфер являются две параллельные плоскости, касающиеся сфер. Каждая плоскость и производящая сфера касаются друг друга по точкам.

На принципе двухпараметрического огибания основаны процессы обработки поверхностей многих деталей (лопатки турбин и гидрогенераторов, зубчатые колеса). Современные станки с ЧПУ могут ориентировать плоский инструмент (фрезу, шлифовальный круг) так, что он совпадает с касательной плоскостью к поверхности в любой точке, а каждая поверхность всегда может рассматриваться как огибающая семейства своих касательных плоскостей. Одну и ту же поверхность можно создать разными способами. Например, поверхность прямого кругового конуса может быть получена вращением прямолинейной образующей вокруг пересекающей ее оси или поступательным движением непрерывно деформируемой окружности, центр которой перемещается по оси конуса, а плоскость окружности перпендикулярна к оси. Ту же коническую поверхность можно получить и как огибающую семейства плоскостей, пересекающих ось конуса в одной точке под одним и тем же углом. Это семейство образует вращающаяся вокруг оси конуса плоскость (рис. 4).

Рис. 4

Кроме этих двух распространенных способов образования поверхностей в научных исследованиях по начертательной и прикладной геометрии применяются и другие способы, такие, например, как способ конкурирующих поверхностей, способ мгновенных преобразований и др. Эти способы здесь не рассматриваются.