Где плюсы и минусы?

Г л а в а 1. Основные понятия в теории изображения геометрических объектов

17

6. МОДЕЛЬ ТОЧКИ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЯХ

В инженерной практике вместо произвольно расположенных в пространстве плоскостей применяются взаимно перпендикулярные плоскости.

Изобразим систему из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и определим на них проекции точки А методом прямоугольного параллельного проецирования (рис. 4).

Рис. 4

Линию пересечения плоскостей П1 и П2 и их кромки удобно взять за оси прямоугольных координат x, y, z. Тогда точка А будет связана с началом координат пространственной ломаной линией ОАхА1А, т. е. координатами xА, yА, zА. Центры S1 и S2 и исключенные точки U1 и U2 бесконечно удалены. Итак, мы

получили возможность однозначно определять положение точки в пространстве: для этого надо восставить перпендикуляры из проекций точки до их взаимного пересечения.

Рассматривая рис. 4, мы можем отметить, что к его достоинству относится наглядность. К недостаткам – сложность и искажение размеров вдоль осей x и y. Как эти недостатки

устранить при минимальных потерях?

18		ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ
Гениальная	Выход из положения нашелся. Он вот в чем. Если вращать
идея	плоскость П	вниз вместе с проекцией А вокруг оси x до
	1	1

совмещения с остающейся на месте плоскостью П2, то мы получим картину, показанную на рис. 5.

Рис. 5 Рис. 6

Ее можно упростить, если убрать кромки плоскостей П1 и П2 . Теперь у нас

получилось то, что показано на рис. 6. Сравним рис. 4 и 6. Видим, что в рис. 6 появились простота и неискаженность размеров вдоль осей. Но опять возник недостаток – исчезла наглядность. Однако этот недостаток превращается в средство для развития пространственного мышления. Заметим, что одной из важнейших целей изучения курса начертательной геометрии как раз и является развитие пространственного мышления и мысленного оперирования геометрическими образами.

	Что такое	Epure (франц.) – чертеж. Чертеж, изображенный на рис. 6,
		называется ЭПЮРОМ МОНЖА. Он состоит из двух проек-
	эпюр?
		ций геометрического объекта (в данном случае точки), каж-

дая из которых получена на взаимно перпендикулярных плоскостях и совмещенных затем в одну плоскость. Для его получения использовано параллельное ортогональное проецирование [1].

Г л а в а 1. Основные понятия в теории изображения геометрических объектов

19

Предшественники Монжа также пользовались двумя проекциями, но попеременно. Монж впервые объединил обе проекции в единый взаимосвязанный «комплекс», в котором эти проекции стали соединяться линиями – линиями связи. В этом эпюре и есть гениальная идея Монжа.

	Куда делась	Посмотрите на эпюр (рис. 6). Там нет самой точки, есть
	точка?	только ее проекции. Проекции – это образ точки, а сама точ-
		ка – прообраз. Образ – это модель. Создание эпюра – это мо-
		делирование.
	Двух	Теперь зададимся вопросом: всегда ли достаточно иметь два
		изображения, т. е. достаточно ли в них информации об объ-
	проекций
		екте? Рассмотрим такой пример. Пусть дано на эпюре два
	тоже мало!
		изображения, два квадрата (рис. 7). Что это такое? Когда бы-

ли две проекции точки, то никаких вопросов не возникало – точка есть точка.

Но что изображено здесь? Можно вообразить куб,
цилиндр, длина которого равна его диаметру, а
может быть, что-то еще.
Значит, нам не хватает информации об объекте.
Вы, наверняка, видели фильмы, где показывается
способ увеличения информации о человеке – его
фотографируют не только в фас, но и в профиль,
т. е. используют дополнительную плоскость про-
екций. Получается, что и у нас возникает необхо-
димость взглянуть на объект еще с одной стороны –
справа или слева. Для этого надо взять еще один	Рис. 7
центр S3 и еще одну плоскость проекций П3 , пер-

пендикулярную к имеющимся П1 и П2 . Выходит, двух проекций мало.

	Введем третью	На рис. 8 показано, что в дополнение к двум имеющимся
		плоскостям П	1	и П	введена третья плоскость – П . Плос-
	плоскость			2	3
		кость П3 называется профильной плоскостью проекций, а
	проекций

А3 – профильной проекцией точки А. Плоскости П1 и П3

отделяются друг от друга по оси y (она раздваивается) и поворачиваются вместе с проекциями вокруг соответствующих осей (x и y) до совмещения с плоскостью П2 . Результат такого действия показан на рис. 9.

Чертеж, составленный из трех связанных между собой ортогональных проекций геометрической фигуры, также называют ЭПЮРОМ. В окончательном виде эпюр, заменяющий пространственный макет (рис. 8) показан на рис. 10.

20	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Рис. 8 Рис. 9

Рис. 10

Итак, мы видим, что для фиксирования фигуры в пространстве и выявления ее формы по проекциям взята декартова система координат, состоящая из трех взаимно перпендикулярных плоскостей. Разумеется, применение третьей плоскости проекций не всегда бывает необходимо.

Г л а в а 1. Основные понятия в теории изображения геометрических объектов

21

В инженерной графике горизонтальную проекцию называют видом сверху, фронтальную – видом спереди, профильную – видом слева.

Линии пересечения плоскостей проекций образуют оси координат: x – ось абсцисс, y – ось ординат, z – ось аппликат. Точка пересечения осей принимается за начало координат и обозначается буквой O (первая буква латинского слова Origo – начало). При этом положительными направлениями осей считают: для оси x – влево от начала координат, для оси y – в сторону зрителя от плоскости П2 , для оси z – вверх от плоскости П1 ; противоположные направ-

ления осей считают отрицательными, т. е. в нашей стране, как и в большинстве европейских стран (в отличие от США и некоторых стран Латинской Америки), принята правая система расположения плоскостей проекций.

Плоскости проекций делят пространство на восемь равных частей – октантов (рис. 11). Их условно принято именовать римскими цифрами. Каждый октант представляет собой трехгранный угол, у которого гранями служат части плоскостей (называемые пола´ми), а ребрами – оси координат.

Рис. 11