Г л а в а 8. Кривые линии, имеющие практическое применение. Обводы при проектировании |
189 |
Покажем анализ формы кривой, заданной аналитически. Будем считать, что известны уравнения кривых а и b, показанных на рис. 22: y1 = f1(x) и y2 = f2(x) соответственно. Проведем качественную оценку формы таких кривых. Для этого нужно проанализировать характер изменения вторых производных.
Первая кривая всюду выпуклая ( ya′′ < 0) , и у нее один участок знакопосто-
янства кривизны.
Вторая кривая имеет три точки перегиба: E, F, C (в точке E – yb′′(xE ) = 0 , в точке F – yb′′(xF ) = 0 , в точке С – yb′′(xС) = 0 ) и четыре участка знакопостоянства кривизны: АЕ – кривая выпуклая ( yb′′ > 0 , кривизна меньше нуля), EF –
кривая вогнутая (y″b > 0, кривизна больше нуля), FC – кривая выпуклая, CD – кривая вогнутая.
Таким образом, число точек перегиба, т. е. количество участков знакопостоянства кривизны, и знак кривизны на первом участке (что позволяет установить последовательность смены знака кривизны) определяют форму аналитически заданной кривой на рассматриваемом участке.
2.3. ХАРАКТЕРНЫЕ ТОЧКИ КРИВЫХ
Точка кривой, в которой можно провести единственную касательную, называется гладкой. Кривая, состоящая только из одних гладких точек, называется гладкой кривой. Точка кривой называется обыкновенной, если при движении этой точки по кривой направление ее движения и направление поворота касательной не изменяются. Точки, не отвечающие этим требованиям, называются осо-
быми.
Рассмотрим некоторые варианты стыков дуг обводов. Точку стыка дуг обвода называют регу-
лярной вершиной или обыкновенной точкой, если полукасательные сторон располагаются на одной прямой и стороны имеют общий центр кривизны
(рис. 25).
Все другие вершины, отличные от регулярных, называют иррегулярными. На рис. 26 показана составная кривая с разными точками стыков.
Точка А – двойная вершина. В ней полукасательные сторон составляют одну прямую и направлены в разные стороны, нормали направлены в одну сторону и радиусы кривизны не равны.
190 |
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ |
Рис. 26
Точка В – вершина острия (точка возврата первого рода). В ней полукасательные сторон совпадают, а нормали имеют противоположное направление.
Точка С – вершина перегиба. В ней полукасательные и нормали сторон имеют противоположное направление. Здесь вторая производная равна нулю и ее знак меняется.
Точка D – вершина клюва (точка возврата второго рода). В ней совпадают полукасательные сторон и совпадают нормали сторон.
Составные плоские кривые линии могут иметь и другие особые точки.
2.4. ПОРЯДОК ГЛАДКОСТИ ОБВОДОВ
Гладкость обвода определяется порядком гладкости в его узлах. Обвод называется гладким, если дуги обвода в его узлах имеют общие касательные. Если в точках стыка совпадают лишь значения составляющих его функций (т. е. обе составляющие дуги проходят через данный узел), то обвод имеет нулевой порядок гладкости. Если в точках стыка дуги обвода имеют общую касательную (непрерывна первая производная), то обвод имеет первый порядок гладкости. При плавном изменении в точках стыка кривизны обвода (непрерывна вторая производная) обвод будет второго порядка гладкости. У обвода третьего порядка гладкости непрерывна третья производная и т. д. Понятно, что для проектирования обводов высоких порядков гладкости требуется применять алгебраические кривые соответствующих степеней.
Г л а в а 8. Кривые линии, имеющие практическое применение. Обводы при проектировании |
191 |
В инженерной практике конструируют обводы различной степени гладкости в зависимости от требований, предъявляемых к качеству изделий. Например, для получения удовлетворительных аэродинамических качеств летательных аппаратов (дозвуковой режим без срыва потока) достаточно в сечениях вдоль потока применить обводы второго порядка гладкости, а в поперечных сечениях – первого. Это относится также и к гидродинамическим поверхностям.
Задача проектирования обводов методами аппроксимации, как и в случае аппроксимации одной кривой, сводится к определению неизвестных параметров дуг на каждом участке при условии стыковки по требуемому порядку гладкости в узлах обвода.
2.5. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ОБВОДОВ
Каждая дуга обвода однозначно задается конечным числом геометрических элементов – точек, касательных, кругов кривизны и т. д. Совокупность условий, однозначно задающих кривую, называется определителем. Число условий, определяющих данную кривую, называется ее параметрическим числом.
Мы уже отмечали, что алгебраическая кривая n-го порядка имеет парамет-
n(n +3) , в котором параметров положения – три (исключе- 2
ние – прямая и окружность). Прямая не имеет параметров формы, окружность имеет один параметр формы (радиус) и два параметра положения (координаты центра).
Все эти параметры входят в уравнение окружности:
(x −a)2 +( y −b)2 = R2 ,
где a, b – параметры положения центра; R – параметр формы. Здесь уместно отметить основные способы задания кривых:
•табличный – кривая задана координатами множества своих точек;
•графический – кривая вычерчена на бумаге или на другом носителе информации. В последующем, снимая координаты ряда точек, переходят к ее табличному заданию;
•аналитический – кривая задана уравнением.
Первые два способа являются дискретными. Замена дискретного обвода математическими уравнениями всегда делается с каким-то приближением.
192 |
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ |
Геометрический образ, заменяющий с определенной степенью точности исходный геометрический образ, называется аппроксимирующим. Если аппроксимирующий обвод проходит через узловые точки дискретного обвода, то он называется интерполирующим.
Задача проектирования обводов методами интерполяции сводится к определению неизвестных параметров дуг на каждом участке при условии обеспечения требуемого порядка гладкости в узлах обвода.
До широкого применения компьютерных технологий основными способами построения обводов были интерполяция дугами окружностей (радиусография) и интерполяция дугами кривых второго порядка (не окружностями). При построении обводов с помощью компьютеров в настоящее время применяют сплайн-функции.
Представляется интересным ознакомиться с отмеченными выше графическими способами построения обводов, хотя, подчеркнем еще раз: они в настоящее время почти не применяются.
2.5.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ДУГАМИ ОКРУЖНОСТЕЙ
Этот способ имеет довольно простую графическую интерпретацию (рис. 27), называемую радиусографией, когда по заданным узловым точкам и касательной в начальной точке проводятся дуги окружностей радиусами, определенными построением. Форма кривой задается вполне однозначно, обеспечивая первый порядок гладкости.
Рис. 27