Г л а в а 4. Взаимное расположение плоскостей и прямых линий. Позиционные задачи

87

Рис. 24

Рис. 25

Рис. 26

На рис. 26 показан цилиндр и конус, описанные вокруг сферы. Линия пересечения – две коники ( эллипсы).

На рис. 27 показаны два эллипсоида вращения, вписанные в сферу. Линия пересечения их – две коники.

Рис. 27

Знание приведенных теорем значительно облегчает построение линии пересечения двух квадрик, имеющих частное взаимное расположение.

ВЫВОДЫ

Плоскости в пространстве могут пересекаться (под произвольным или под прямым углом) или быть взаимно параллельны.

Признак параллельности плоскостей: две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

88	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Линию пересечения плоскостей определяют с помощью вспомогательных секущих плоскостей-посредников.

Признаки перпендикулярности двух плоскостей:

•плоскость перпендикулярна другой плоскости, если хотя бы одна прямая первой плоскости перпендикулярна другой плоскости;

•плоскость перпендикулярна другой плоскости, если она перпендикулярна какой-либо прямой этой плоскости.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в плоскости.

Определение точки пересечения прямой с плоскостью состоит из трех действий:

а) прямую заключают во вспомогательную плоскость, чаще всего – проецирующую;

б) строят линию пересечения вспомогательной плоскости с данной плоскостью;

в) отмечают точку пересечения линии с построенной линией.

Построение линии пересечения поверхностей является обобщением задачи на построение линии пересечения двух плоскостей. Ее решают введением вспомогательных поверхностей, называемых посредниками.

Для построения линий пересечения простейших поверхностей часто используются вспомогательные плоскости и сферы.

УПРАЖНЕНИЕ

Задача № 1

Через точку P (50, 150, 170) провести плоскость, параллельную треуголь-

ной пластинке АВС. Координаты точек: А (40, 100, 120); В (90, 80, 40); С (180, 20, 100).

Порядок выполнения

1.Установить ПСК в заданную пластинку с помощью трех точек.

2.Перенести начало координат в точку P.

3.Через точку P провести две пересекающиеся прямые, параллельные двум пересекающимся прямым в пластинке, либо скопировать и перенести всю пластинку параллельно самой себе в заданную точку.

На рис. 28 показан пример выполненной задачи № 1.

Г л а в а 4. Взаимное расположение плоскостей и прямых линий. Позиционные задачи

89

Рис. 28

Задача № 2

Построить прямоугольную проекцию точки А (90, 135, 100) на плоскость, заданную треугольником ВСD c координатами точек: В (60, 30, 80),

С (120, 100, 20), D (170, 60, 110).

Порядок выполнения

1.Установить ПСК в заданную плоскость.

2.Выбрать «Отрезок» и с помощью координатных фильтров ( Shift + правая кнопка) отметить координаты (х, у), затем указать точку А и задать z = 0.

На рис. 29 приведен пример выполненной задачи № 2.

Рис. 29

90	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Задача № 3

Построить точку пересечения прямой, заданной отрезком АВ с плоскостью П1. Координаты точек: А (210, 45, 80), В (30, 110, –60).

Порядок выполнения

Здесь работает тот же алгоритм нахождения точки пересечения прямой линии с плоскостью, состоящий из трех действий (шагов), рассмотренных выше.

1. Заключаем прямую во вспомогательную плоскость. Такой плоскостью в данном случае будет плоскость, определяемая двумя параллельными прямыми – двумя перпендикулярами, опущенными из точек А и В прямой на плос-

кость П1.

2. Строим линию пересечения вспомогательной плоскости с плоскостью П1 – а это будет линия, соединяющая проекции А1 и В1 точек А и В на плос-

кость П1.

Отмечаем точку K пересечения построенной линии (по сути это проекция отрезка АВ на плоскость П1) с данной линией (отрезком АВ), т. е. искомая точка может быть найдена как точка пересечения отрезка с его прямоугольной проекцией на плоскость П1.

На рис. 30 показан пример выполненной задачи № 3.

Рис. 30