Г л а в а 12. Линейчатые поверхности

277

Уравнение линии, проходящей через эти точки:

x − xн1

=

y − f1(xн1)

=

z −ϕ1(xн1)

.

f

)

ϕ

)

x

− х

2

(x

) − f (х

2

(x

) −ϕ (x

н2

н1

н2

1 н1

н2

1 н1

Координаты xн1 и xн2

находятся при решении уравнений:

xн1cos α + f1(xн1)сosβ + ϕ1 (xн1)сos γ –pi = 0;

xн2cos α + f2(xн2)cosβ + ϕ2 (xн2)cos γ – pi = 0,

где pi – параметр, определяющий плоскость, в которой лежит образующая и которая параллельна плоскости параллелизма.

Поверхности Каталана широко применяют в технике. Форму цилиндроидов имеют воздуховоды, переходные патрубки и др. Отвальные поверхности плугов тоже имеют форму цилиндроидов.

3.2. КОНОИД

Коноид – неразвертываемая линейчатая поверхность, имеющая плоскость параллелизма и две направляющие, из которых одна – кривая линия, а другая – прямая. На рис. 15 показано два варианта наглядного изображения коноида.

Рис. 15

278	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Если прямолинейная направляющая перпендикулярна к какой-нибудь плоскости проекций, то коноид называется прямым (прямым клином). На рис. 16 показан такой коноид. У него направляющими являются эллипс а, расположенный в плоскости xOy, и прямая b, перпендикулярная плоскости П3. Плоскость П3 принята за плоскость параллелизма. Поверхность коноида является поверхностью четвертого порядка. Она содержит каркас эллипсов, распо-

ложенных в плоскостях, параллельных плоскости xOy. Плоскость Γi пересекает коноид по эллипсу mi.

Рис. 16

На рис. 17 показан прямой коноид Ф ( a, b , Π3 ) без каркаса образующих, где a – направляющая в виде эллипса; b – направляющая в виде прямой; П3 (плоскость yOz) – плоскость параллелизма.

Г л а в а 12. Линейчатые поверхности

279

Рис. 17

Уравнение этого коноида выводится из выражений

a:

x2

+

y2

=1;

(1)

a2

b2

b

:

z = h;

(2)

l i:

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

.

(3)

− y

x

− x

y

z

2

− z

2

1

2

1

1

Но так как

x − x1

=

x −o

,

o −o

x

− x

2

1

то

l i =

y − y1

=

z − z1

.

(4)

y

2

− y

z

2

− z

1

1

Из (1) находим

y1 =

a2b2

− x2b2

.

a2

280 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Подставив y1 в (4) и учитывая, что z1 = 0

и y2 = 0, получим:

y −

a2b2 − x2b2

a2

z − z1

z

=

=

,

b

a

2

− x

2

z2 − z1

h

− a

или

b

2

2

b

2

2

h y −

a

− x

+ z

a

− x

= 0.

a

a

Если избавиться от корней, то получим уравнение четвертой степени. Рассмотрим вывод уравнения коноида в общем виде Ф(a, b, α) (рис. 18).

Рис. 18

α:

x cos α + y cos β+ z cos γ – p = 0;

a:

y

=

f (x

)

1

1

н1

;

z1 = ϕ1(xн1)

b:

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

.

x

− x

y

− y

z

2

− z

2

1

2

1

1