ГЛАВА 14 АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

Основные понятия ≈ Суть способа получения аксонометрических проекций ≈ Показатели искажения по осям и виды аксонометрических проекций ≈ Зависимость между показателями искажения в аксонометрии ≈ Стандартные виды аксонометрических проекций ≈ Прямоугольная изометрия ≈ Окружность в прямоугольной изометрии ≈ Пример построения геометрического объекта в прямоугольной изометрии ≈ Прямоугольная диметрия ≈ Косоугольные аксонометрические проекции ≈ Фронтальная изометрическая проекция ≈ Горизонтальная изометрическая проекция ≈ Фронтальная диметрическая

проекция

1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Всистеме двух прямоугольных проекций, которую мы изучали до сих пор, изображаемый предмет, как правило, располагался так, чтобы его три главные направления (высота, длина, ширина) становились либо параллельными, либо перпендикулярными к плоскости проекций. Тогда они проецируются в натуральную величину в первом случае и в точки – во втором. Такая ориентация предмета позволяет сохранять метрические характеристики оригинала. Однако для полного выявления формы предмета (как внешнего вида, так и внутреннего строения) и его размеров иногда возникает необходимость в дополнитель-

ных изображениях, таких как дополнительные виды, разрезы и сечения. В этом случае для мысленного представления геометрической формы предмета приходится одновременно рассматривать и сопоставлять две, три проекции и более, что затрудняет чтение чертежа и требует хорошего пространственного воображения.

Если же предмет расположить относительно одной плоскости проекций так, чтобы его главные направления не были проецирующими или линиями

316	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

уровня, то на проекции предмета выявляются, хотя и с искажениями, все три его измерения и предмет будет изображен наглядно. Наглядное изображение бывает необходимо, например, в иллюстрациях учебного или ознакомительного характера, при описании устройства различных изделий – станков, двигателей, автомобилей, самолетов и др.

Наглядное изображение может быть выполнено в виде АКСОНОМЕТРИИ*. Оно получается посредством параллельного или центрального проецирования оригинала на специально выбранную плоскость. Однако мы знаем, что одна центральная или параллельная проекция на плоскость не определяет положения фигуры в пространстве. Чтобы устранить эту неопределенность и обеспечить взаимную однозначность между точками, принадлежащими проецируемой фигуре и ее проекции, необходимо иметь не одну, а две ее проекции, т. е. чертеж должен быть обратимым.

Проследим, как можно получить две взаимосвязанные проекции одной фигуры на одну плоскость.

Пусть в пространстве задан отрезок прямой АВ (рис. 1). Чтобы получить параллельную проекцию этого отрезка на произвольную плоскость α, по которой можно определить расположение заданной фигуры в пространстве, следует взять какую-либо плоскость β и найти на ней ортогональную проекцию

заданной фигуры (отрезка). Затем надо спроецировать отрезок АВ и его ортогональную проекцию А1В1 на плоскость α в направлении s. При таком способе проецирования каждой точке пространства соответствуют две ее проекции на плоскости α.

2. СУТЬ СПОСОБА ПОЛУЧЕНИЯ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ

Изображение предмета в аксонометрии получается параллельным или центральным проецированием его на выбранную плоскость проекций вместе с отнесенными к нему осями прямоугольных координат. Это значит, что вместо произвольной плоскости β, как это показано на рис. 1, можно взять одну из

координатных плоскостей, например xOy.

Пусть точка А отнесена к прямоугольной системе координат, где каждая пара осей определяет плоскость проекций (рис. 2).

* Слово АКСОНОМЕТРИЯ в переводе с греческого означает измерение по осям

(axon – ось, metreo – измеряю).

Г л а в а 14. Аксонометрические проекции

317

Рис. 1

Рис. 2

318	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Горизонтальную проекцию А1 точки А получим прямоугольным проецированием ее на плоскость xOy. Проведя перпендикуляр из А1 к оси Ох, отметим точку Ах. В результате этих построений точка А оказалась связанной с началом координат пространственной ломаной линией ОАхА1А, где ОАх – координата х;

АхА1 – координата y; А1А – координата z.

Спроецируем точку А вместе с системой координат на некоторую плоскость Π′ параллельно заданному направлению s. Изображение на этой плоскости, полученное в результате такого проецирования, называется АКСОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИЕЙ.

На рис. 2 обозначены:

Π′ – плоскость аксонометрических проекций (или картинная плоскость); x′, y′, z′ – аксонометрические оси;

A′ – аксонометрическая проекция точки А; A1′ – вторичная проекция точки А;

ϕ° – угол между направлением проецирования и плоскостью аксонометри-

ческих проекций.

Таким образом, видим, что в аксонометрии имеются два поля проекций: поле главных и поле вторичных проекций.

Убедиться в обратимости аксонометрического изображения можно, если двигаться по прямым от точки A′ через точку A1′ к точке A1 , затем из A1 вос-

ставить перпендикуляр к координатной плоскости xOy, а из точки A′ двигаться по ранее проведенному к ней лучу (но в обратном направлении) до пересечения с этим перпендикуляром в точке A . На рис. 2 этот путь показан стрелками. На рис. 1 такой путь показан тоже.

3.ПОКАЗАТЕЛИ ИСКАЖЕНИЯ ПО ОСЯМ

ИВИДЫ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ

За единицу длины, общую для всех координатных осей, примем длину отрезка e – натуральный масштаб. Отложим эти отрезки от точки О на каждой

из осей (ex = ey = ez = е). На плоскости П′ эти отрезки отобразятся своими проекциями e′x , e′y , e′z , которые при общем положении осей относительно П′

не равны между собой. Отрезки e′x , e′y , e′z – это АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ЕДНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ, или АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МАСШТАБЫ. Их

Г л а в а 14. Аксонометрические проекции

319

принимают за единицы длины по соответствующим аксонометрическим осям (и направлениям, им параллельным). Но для установления действительных размеров предмета надо знать, во сколько раз увеличиваются или уменьшаются отрезки по осям в своих аксонометрических изображениях. Эти увеличения или уменьшения называются показателями (коэффициентами) искажения. Обозначим их через u, v и w по осям x, y и z соответственно. Тогда можно записать:

	e′x	= u;	e′y	= v;	e′z	= w.
	e		e		e

Натуральные оси координат x, y, z в общем случае могут располагаться к плоскости проекций под произвольными углами. Тогда различным положениям натуральной системы координат по отношению к плоскости проекций и различным направлениям проецирования будут соответствовать различные положения аксонометрических осей и различные длины аксонометрических масштабов. Выходит, что можно построить бесчисленное число аксонометрических изображений. Отсюда возникает вопрос: с какой степенью произвола могут быть заданы на чертеже аксонометрические оси и аксонометрические масштабы?

Этот вопрос полностью решается основным предложением аксонометрии (теорема Польке), на основании которого система аксонометрических осей, а также аксонометрических масштабов на них может быть задана совершенно произвольным образом. Иначе говоря, всегда найдется такое положение прямоугольной системы натуральных координат в пространстве и такой размер натурального масштаба по осям, а также такое направление проецирования, что любая аксонометрическая система окажется параллельной проекцией натуральной системы. Но если аксонометрические масштабы можно задавать совершенно произвольно, то этого делать нельзя по отношению к показателям искажений, так как они и угол наклона проецирующих лучей связаны определенной зависимостью (о ней будет идти речь ниже).

Теорема Польке. Немецкий ученый Карл Польке в 1851 г. сформулировал основную теорему аксонометрии (которую позднее обобщил тоже немецкий ученый Г. Шварц).

Три отрезка прямых произвольной длины, лежащих в одной плоскости и выходящих из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на прямоугольных координатных осях от начала.

320	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Согласно этой теореме любые* три прямые в плоскости, исходящие из одной точки и не совпадающие между собой, можно принять за аксонометрические оси, т. е. за проекции осей прямоугольных координат, и любые три отрезка произвольной длины, отложенные от точки их пересечения, можно принять за аксонометрические масштабы. Эта система аксонометрических осей и масштабов является параллельной проекцией некоторой прямоугольной системы координатных осей и натуральных масштабов.

Однако в практике применяют лишь некоторые определенные комбинации направлений аксонометрических осей и показателей искажений, которые кроме наглядности изображения обеспечивают простоту построений.

В зависимости от направления проецирования аксонометрические проекции подразделяются на прямоугольные и косоугольные, а в зависимости от соотношения показателей искажений:

•на изометрические, когда u = v = w;

•диметрические, когда u = w ≠ v;

•триметрические, когда u ≠ v ≠ w.

4. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ПОКАЗАТЕЛЯМИ ИСКАЖЕНИЯ

В АКСОНОМЕТРИИ

Положение каждой из трех взаимно перпендикулярных координатных осей в пространстве относительно аксонометрической плоскости проекций полностью определяется положением двух других осей. Поэтому величины показателей искажения связаны между собой определенным образом и зависят от положения координатных осей в пространстве и от угла наклона, образованного направлением проецирования с аксонометрической плоскостью проекций. Для выявления такой зависимости будем следовать по пути, изложенному в работе С.М. Колотова и др. [16].

* Для ортогональной аксонометрии есть уточнение: три выходящих из одной точки полупрямые плоскости только в том случае могут являться аксонометрическими осями, если они образуют между собой тупые углы.

Доказательство теоремы Польке см. в книге Е.А. Глазунова и Н.Ф. Четверухина

«Аксонометрия», 1953, с. 32–35.

Г л а в а 14. Аксонометрические проекции

321

Рассмотрим три взаимно перпендикулярные оси, у которых Ox = Oy = Oz = 1. Спроецировав их на плоскость П′ , получим аксонометрический трехосник O′x′y′z′ (рис. 3). Если вращать оси Oy и Oz вокруг неподвижной оси Ox , то их

концы будут описывать окружность, которая в общем случае спроецируется на плоскость П′ в эллипс. Отрезки Oy и Oz – это полудиаметры окружности, а

O′y′ и O′z′ – сопряженные полудиаметры эллипса.

Рис. 3

Согласно первой теореме Аполлония СУММА КВАДРАТОВ СОПРЯЖЕННЫХ ПОЛУДИАМЕТРОВ ЭЛЛИПСА ЕСТЬ ВЕЛИЧИНА ПОСТОЯННАЯ. Поэтому можно записать:

(O′y′)2 +(O′z′)2 = const.

Поскольку отрезок Ox, как ось вращения, неподвижен, его проекция O′x′ при заданном направлении проецирования есть величина постоянная. Тогда можно утверждать, что

(O′x′)2 + (O′y′)2 +(O′z′)2 = const.

Мы полагали, что Ox = Oy = Oz = 1, поэтому

′	′	= u;	′	′	= v;	′	′	= w,
O x			O y			O z
Ox			Oy			Oz
и тогда u2 + v2 + w2 = const.

322	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Значит, СУММА КВАДРАТОВ показателей искажений при данном направлении проецирования есть ВЕЛИЧИНА ПОСТОЯННАЯ, не зависящая от положения координатных осей в пространстве.

Для определения этой величины при косоугольном проецировании расположим систему координат так, чтобы Ox и Oy были параллельны П′ (рис. 4).

Рис. 4

При угле φ наклона проецирующих лучей к плоскости П′ показатели ис-

кажения u и v будут равны 1, а
		′	′	ctg ϕ,
ω= O z
		Oz
так как
′	′				Oz
ω = O z		, а Oz0 =				.
Oz0					ctg ϕ

И тогда

u2 + v2 + w2 = 12 + 12 + ctg2φ = 2 + ctg2φ.

При прямоугольном проецировании угол φ = 90°, поэтому формула зависимости показателей искажений имеет вид

u2 + v2 + w2 = 2.