254	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

В частном случае, когда плоскость касается тора в двух точках (точки А и В на рис. 15), спирическая линия распадается на два круга Виларсо. Их горизонтальные проекции – эллипсы.

Круги Виларсо

Рис. 15

4. ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Винтовой поверхностью называется поверхность, которая описывается ка- кой-либо линией (образующей) при ее винтовом движении.

Винтовое движение характеризуется, как известно, вращением вокруг определенной оси i и поступательным перемещением, параллельным оси i. При этом поступательное перемещение m образующей l связано с углом поворота простой зависимостью: m = pϕ, где p – единичный шаг или ПАРАМЕТР

ВИНТОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ (рис. 16).

Г л а в а 11. Поверхности вращения и винтовые	255
ШАГОМ ВИНТОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ называется величина	h = 2πp .

Различают винтовые поверхности переменного и постоянного шага. Все точки образующей описывают при ее движении винтовые линии b (переменного или постоянного шага) – направляющие поверхности. На рис. 16 показано получение винтовой поверхности движением прямолинейной образующей l. Однако образующими могут быть и кривые. Обычно за образующую винтовой поверхности принимают ее меридиан. Допустим, что меридиан l винтовой поверхности, заданный уравнением z = F(х), расположен в плоскости xOz (рис. 17). Пусть этот меридиан совершает винтовое движение с осью z, образуя винтовую поверхность θ постоянного шага S. Если предположить. что кривая только вращается, получим поверхность вращения.

Рис. 16 Рис. 17

Образующая винтовой поверхности одновременно с вращением должна со-

вершить перемещение, параллельное оси z, на величину m = pϕ, где p = 2Sπ –

винтовой параметр (единичный шаг) поверхности. Допустим, что линия l , повернувшись на угол ϕ, заняла положение l . Это один из меридианов по-

верхности вращения, уравнение которой z = F ( x2 + y2 ). Поверхность вра-

256	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

щения F называется направляющей поверхностью по отношению к винтовой поверхности.

Сместив меридиан l на m = pϕ, получим кривую l – меридиан винтовой

поверхности с точкой M на нем. Запишем параметрические уравнения винтовой поверхности постоянного шага:

x = ρcos ϕ, y = ρsin ϕ, z = F(ρ) + pϕ,

(1)

где ρ и ϕ – криволинейные координаты точки M на винтовой поверхности. Если исключить переменные параметры (ρ, ϕ) , то винтовая поверхность определится одним уравнением в явном виде:

z = F (	x2 + y2 )+ p аrctg	y
			.
		x

Для отображения винтовой поверхности на чертеже необходимо задать проекции оси i и образующей l , а также указать величину шага S или параметра p . Определитель винтовой поверхности: θ [ i, l, S ], или θ [ i, l, p ].

Винтовая поверхность называется закрытой, если образующая пересекает ось винтового движения, в противном случае поверхность называется открытой. Если образующая является прямой линией, то поверхность называется геликоидом.

4.1. ПРЯМОЙ ГЕЛИКОИД

Геликоид называется прямым, если образующие перпендикулярны к оси винтового движения, в противном случае – наклонным.

Винтовое движение точки М можно представить себе как движение ее по образующей цилиндра вращения, в то время как сама образующая вращается вокруг оси цилиндра (рис. 18). Обычно в технике применяются винтовые линии постоянного хода, когда угловая скорость вращения образующей постоянна, а линейная скорость смещения точки ей пропорциональна.

Уравнения винтовой линии для прямого геликоида имеют вид x = R cos ϕ,

y = R sin ϕ	(2)
z = p ϕ,

где p = h/2 π.

Г л а в а 11. Поверхности вращения и винтовые

257

Рис. 18

По параметрическим уравнениям (2) (исключая параметр ϕ) можно записать уравнения проекций винтовой линии:

• на плоскость xОy :

x2 + y2 = R2 ;

• на плоскость xОz :

x = R cos pz , так как ϕ= pz

(из m = pϕ, где вместо m взято обозначение z);

• на плоскость yОz :

y = R sin pz .

Запишем уравнение образующей как прямой, проходящей через две точки для прямого геликоида:

x − x1		=	y − y1			.	(3)
x	− x		y	2	− y
2	1				1