224	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

3. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Поверхность считается заданной на чертеже, если относительно любой точки, указанной на этом чертеже, можно однозначно решить, принадлежит она данной поверхности или нет. Справедливо также утверждение: поверхность считается заданной, если по одной проекции точки, принадлежащей данной поверхности, можно построить ее вторую проекцию.

Определитель поверхности. Совокупность условий, необходимых для задания поверхности, называется определителем поверхности. Он состоит из геометрической и алгоритмической частей. Геометрическая часть определителя – это перечень геометрических элементов и фигур, которые участвуют в образовании поверхностей. Алгоритмическая часть определителя описывает взаимосвязи между элементами и фигурами, входящими в геометрическую часть, а также представляет совокупность правил, по которым образуется поверхность. При задании поверхности можно в ряде случаев вместо геометрических элементов задавать числовые параметры. Например, сферу можно задавать центром сферы и величиной радиуса. Для задания конуса вращения можно указать ось вращения и величину угла между образующей конуса и осью. Такие параметры поверхности принято разделять на параметры формы и положения. В случае задания сферы ее радиус является параметром формы, а координаты центра сферы – параметрами положения. Совокупность параметров поверхности называется ее параметрическим числом.

Геометрическая часть определителя обеспечивает обратимость чертежа, его метрическую определенность, но не обеспечивает наглядности изображения поверхности. Наиболее наглядна поверхность, которая задана ее очертаниями на плоскостях проекций. Например, коническая поверхность, заданная геометрической частью определителя (рис. 5, а) не наглядна. Она становится более наглядной, если задать ее очертания указанием ряда положений образующей (рис. 5, б).

Различают два основных способа задания поверхностей: графический и аналитический.

На заре автомобилестроения и авиации использовались обычно графические способы задания сложных форм поверхности на плазах (больших чертежных столах), где прорисовывался дискретный каркас поверхности, строились чертежи необходимых сечений поверхности плоскостью, изготовлялись шаблоны этих сечений. Такой метод формирования поверхности получил название ПЛАЗОВО-ШАБЛОННОГО метода. В настоящее время с появлением ЭВМ этот метод модернизирован, он стал расчетно-плазовым либо вообще бесплазовым.

Г л а в а 10. Сложные поверхности

225

а

б

Рис. 5

При проектировании поверхностей технических форм и их воспроизведении на станках с ЧПУ (получение физических моделей поверхностей) используются совместно графические и аналитические способы задания поверхностей. Рассмотрим оба названных способа задания поверхностей.

3.1. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Сложные поверхности технических изделий, имеющие образующие переменной формы, могут быть заданы некоторым числом (совокупностью) принадлежащих им точек и линий (каркасом из точек и линий). Такие поверхности обычно называют КАРКАСНЫМИ. На чертеже их задают проекциями элементов каркаса. Каркас получается дискретным в отличие от непрерывного каркаса кинематической поверхности. На полученном чертеже точки (и линии) поверхности, не лежащие на линии каркаса, могут быть построены только приближенно.

Примеры каркасных поверхностей: обшивки самолетов, автомобилей и судов, некоторые технические детали со сложными формами; лопатки турбин и компрессоров, гребные винты и т. п.

Каркас может образовываться из параллельных сечений. Для придания однозначности чертежу поверхности обычно пользуются одним из двух способов:

1)задается алгоритм графических операций перехода от заданных линий каркаса к промежуточным линиям;

2)с помощью аналитических методов аппроксимации и какого-либо класса моделирующих функций рассчитывают математическую модель поверхностей, содержащую заданные точки и линии каркаса. Эту модель в дальнейшем используют для получения промежуточных точек и линий.

226	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

3.2.АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Ваналитическом способе поверхность рассматривается как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению вида

F(x, y, z) = 0 или z = Ф(x, y),

где F и Ф – алгебраические или трансцендентные функции.

Поверхность также может задаваться системой уравнений, определяющих зависимость координат точек поверхности от некоторого параметра:

x= x(t),

y= y(t),

z= z(t).

Такой способ задания называется ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ.

Широкое распространение в последнее время получила векторная форма задания поверхности. В этом случае поверхность определяется ВЕКТОРФУНКЦИЕЙ R некоторой точки M, принадлежащей поверхности (рис. 6).

Рис. 6

Г л а в а 10. Сложные поверхности

227

Эта функция зависит от двух скалярных аргументов u и v:

R = R(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k,

где x, y, z – координаты вектор-функции (также являющиеся функциями u и v). Параметры u и v называются КРИВОЛИНЕЙНЫМИ КООРДИНАТАМИ поверхности. Каждой паре значений u, v из области их изменения соответству-

ет точка поверхности, координаты которой определяются функциями

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).

Если один из параметров принять постоянным, например задаться v = v1, то вектор функции R = R(u, v1) опишет на поверхности некоторую линию v1 = const, называемую координатной линией. Переходя к другому значению

v = v2, получим следующую линию семейства v2 = const. Совокупность линий v = const образует линейный каркас поверхности. Аналогично, фиксируя u и изменяя v, можно получить координатную линию u = const. Множество линий u = const дает другой линейный каркас той же поверхности. Через каждую точку поверхности можно провести две координатные линии (одну – семейства u = const, другую – v = const) Два линейных каркаса определяют СЕТЧАТЫЙ КАРКАС поверхности, или СЕТЬ.

Векторная форма часто используется для задания кинематических поверхностей. Действительно, пусть образующая линия поверхности задана параметрически в виде r = r(u). Вводя второй параметр v, определяющий перемещение образующей в пространстве, можно получить сетчатый каркас поверхности, описываемый уравнением

r= r(u, v).

Вэтом случае линии каркаса v1 = const представляют собой семейство об-

разующих, а линии каркаса u1 = const – семейство направляющих линий поверхности.

3.3. ПРИМЕР АНАЛИТИЧЕСКОГО СПОСОБА ЗАДАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ

Найдем уравнение сферы радиусом R. Для этого положение точки M на сфере будем определять с помощью двух семейств координатных линий

(рис. 7).

228	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Рис. 7

Пусть одно семейство состоит из параллелей l, расположенных в горизонтальных плоскостях. За параметр u этого семейства принимаем угол MOP (широта), составляемый радиусом OM с плоскостью экватора Σ. Для «северного» и «южного» полушарий параметр u будет соответственно иметь положительные и отрицательные значения.

Второе семейство состоит из полумеридианов m, расположенных в плоскостях, проходящих через ось OA Σ . Все линии этого семейства – полуокружности радиусом R – пересекают параллели под углом 90º. Приняв меридиан AB за начальный, будем вторую координату определять углом v (долгота), составляемым плоскостями меридианов AP и AB.

Таким образом, u и v – криволинейные координаты точки M на поверхности сферы.

Отнесем сферу к прямоугольной системе координат с началом в центре сферы. Тогда из треугольников NOQ и MON найдем параметрические уравнения сферы:

x = R cos u cos v, y = R cos u sin v, z = R sin u.

Возводя в квадрат и суммируя левые и правые части полученного уравнения, имеем уравнение сферы в неявном виде:

x2 + y2 + z2 = R2 .