144	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

ции хотя бы одной точки на кривой (рис. 3). Действительно, если бы не были указаны проекции точки А, мы не могли бы построить горизонтальную проек-

цию В1 точки В по ее фронтальной проекции В2, так как не знали бы, на какой

ветви горизонтальной проекции находится В1. Наличие точки А позволяет, обходя кривую в выбранном направлении, однозначно строить проекции ее точек.

Рис. 3

Рис. 4

По чертежу кривой в общем случае нельзя сказать, пространственная это кривая или плоская. Надо выполнить дополнительные построения: провести на кривой две хорды и определить, пересекаются они или скрещиваются. В первом случае кривая плоская, во втором – пространственная. На рис. 4 изображена пространственная кривая

4. КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ К КРИВОЙ ЛИНИИ

Для исследования локальных свойств кривой строят в выбранной точке касательную и нормаль. Подробно это изучается в дифференциальной геометрии.

Пусть дана кривая m (рис. 5). Через точку А кривой проведем две секущие (хорды) АЕ и АD. Если приближать точки Е и D по кривой к точке А, то секущие будут поворачиваться вокруг нее и достигнут своего предельного положения. Предельное положение каждой секущей называется ПОЛУКАСАТЕЛЬНОЙ, а слившиеся вместе – КАСАТЕЛЬНОЙ. Нормалью n в точке А называется перпендикуляр, проведенный к касательной в этой точке.

Г л а в а 7. Кривые линии

145

Рис. 5

5. УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ

Уравнение прямой, проходящей через точку ( x1, y1 ) с угловым коэффициентом k (рис. 6):

y − y1 = k(x − x1);

y − y1 = k. x − x1

Рис. 6

146	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Если прямая t (рис. 7) является касательной к кривой m в точке M1 , то k должен быть равен tg τ наклона кривой в точке M1 . Обозначим его k1 , тогда

k	= tg τ =		dy		x≡x1	= dy .
1	1		dx		y≡y	dx
		1

Рис. 7

Поэтому для точки M1(x1, y1) уравнение касательной M1M :

y − y1 = dy1 (x − x1) . dx1

Известно, что тангенс угла наклона перпендикуляра к прямой равен обрат-

ной величине k1 со знаком минус: − 1 . Поэтому уравнение нормали в точ- k1

ке M1

y − y1 = − dx1 (x − x1) . dy1

Г л а в а 7. Кривые линии

147

6. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ

Траектория движущейся точки определяется значениями радиуса-вектора, которые он принимает в последовательные моменты времени (рис. 8).

Рис. 8

Зависимость между r и t обозначим посредством функции

r = r(t) ,

т. е. фиксируем, что r является функцией от времени. Функция r называется вектор-функцией. Выраженное в координатной форме это утверждение имеет вид

x = x(t), y = y(t), z = z(t) .

Путь, пройденный точкой, может быть любой закрученной кривой в пространстве.

Кривую в пространстве можно задать еще и любой функциональной зависимостью между r и одним скаляром или параметром u, но наиболее наглядной является зависимость r от времени. Параметр служит меткой точки на рассматриваемой кривой, или просто ее координатой.