206	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

5. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ

Линия пересечения поверхностей двух многогранников представляет собой некоторую замкнутую пространственную ломаную. Она может распадаться на две и более также замкнутые ломаные, в частности на плоские многоугольники. Стороны или звенья ломаной – это отрезки прямых, по которым пересекаются грани обоих многогранников.

Вершинами ломаной являются точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго и ребер второго многогранника с гранями первого.

Отсюда, так же как и в задаче определения фигуры сечения многогранника плоскостью, вытекают два способа построения линий взаимного пересечения многогранников:

1)способ ребер – отыскание вершин ломаной;

2)способ граней – отыскание сторон ломаной.

При первом способе построение сводится к многократному решению первой основной позиционной задачи – нахождению точки пересечения прямой с плоскостью, при втором – к многократному решению второй основной позиционной задачи, т. е. нахождению прямой пересечения двух плоскостей.

Соединять отрезками прямых можно только те пары вершин ломаной, которые лежат в одной и той же грани первого многогранника и в то же время в одной и той же грани второго многогранника.

Пример построения линии пересечения двух многогранников с применением способа ребер находим в работе [13] (рис. 11). В примере показано, что для определения точек пересечения ребра DS с гранями призмы через него проведена вспомогательная фронтально проецирующая плоскость α. Она пересекает призму по треугольнику LMN.

Горизонтальная проекция D1S1 ребра DS пирамиды пересекается с прямыми L1N1 и L1M1 в точках 2 и 1 соответственно. Следовательно, точки 1 и 2 являются горизонтальными проекциями точек пересечения ребра DS с гранями AA′BB′ и AA′CC′. Этот результат записан в таблицу (при определении последовательности соединения вершин в затруднительных случаях делают вспомогательную таблицу).

Г л а в а 9. Многогранные поверхности и многогранники. Систематизация поверхностей

207

Рис. 11

208		ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ
	Вершины линии	Грани, в которых лежит данная вершина
	пересечения	Грани пирамиды	Грани призмы
	1	DES и DFS	АА′ВВ′
	2	DES и DFS	АА′СС′
	3	DES и EFS	АА′ВВ′
	4	DES и EFS	ВВ′СС′
	5	EFS и DFS	АА′ВВ′
	6	EFS и DFS	АА′СС′
	7	DES	АА′СС′ и ВВ′СС′
	8	EFS	АА′СС′ и ВВ′СС′

Поскольку точки 1 и 2 лежат на ребре DS пирамиды, они в одно и то же время принадлежат двум ее смежным граням, что и отражено соответствующей записью во второй графе таблицы.

Аналогично через боковые ребра ES и FS пирамиды проведены вспомогательные плоскости β и γ, найдены точки 3–4 и 5–6 соответственно. Эти ре-

зультаты также записаны в таблицу. Далее определены точки пересечения ребер призмы с гранями пирамиды. В этом случае грани пирамиды пересекают только одно боковое ребро призмы, а именно CC′. При помощи проведенной через него фронтально проецирующей плоскости δ найдены искомые точки 7 и 8. Этот результат также внесен в таблицу. Оставалось соединить в определенной последовательности полученные точки (рис. 12).

Обращаясь к составленной таблице, можно видеть, что надо соединить, например, точки 1 и 5, лежащие в общей для них грани DFS пирамиды и общей для них грани AA′BB′ призмы, но нельзя соединить точки 1 и 2, так как, хотя у них и имеется общая грань пирамиды (DES или DFS), они лежат в разных гранях призмы.

Итак, пользуясь таблицей, устанавливают следующий порядок соединения точек: 1–3–5–1 (линия замкнулась) и 2–7–4–8–6–2 (линия замкнулась).

Г л а в а 9. Многогранные поверхности и многогранники. Систематизация поверхностей

209

Рис. 12