246	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

3.3. КОНУС ВРАЩЕНИЯ

Уравнение меридиана – прямой линии, проходящей через начало координат: z = kx. Подставив вместо х выражение x = x2 + y2 , получим уравнение

конуса вращения k²(x² + y²) – z² = 0.

Конус вращения – линейчатая поверхность второго порядка (рис. 5).

Рис. 5

3.4. ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ

Рассмотрим случай, когда образующая l и ось i – скрещивающиеся прямые (рис. 6). Прямая l задана проекциями, уравнения которых

l1 : y = R;

l2 : z = kx.

При вращении образующей вокруг оси получается поверхность гиперболоида вращения. Для того чтобы убедиться в этом, определим точки пересечения параллелей, описываемых точками образующей l с плоскостью Σ, проходящей через ось i. На образующей отметим две произвольные точки 1 и 2. Точка Q образующей, ближайшая к оси, описывает горловую окружность q. Фронтальные проекции 1′2 , 2′2 точек 11′ и 21′ пересечения параллелей с плос-

костью Σ находятся на очерке поверхности – меридиане m2.

Г л а в а 11. Поверхности вращения и винтовые

247

Рис. 6

Выведем уравнение этого меридиана. Очевидно, x2′

= x2

+ y2

, так как y = R,

1

1

1

r = x′, или

x2′ =

z2

+ R2 , так как x =

z

. Опустив индекс и выполнив элемен-

1

1

k 2

k

тарные операции, найдем

x2

−

z2

=1.

R2

R2k 2

Получили уравнение гиперболы с действительной осью, равной 2R.

Легко заметить, что данная поверхность может быть получена вращением не только прямой l , но и симметричной ей относительно горизонтальной

плоскости прямой l .

248 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Таким образом, однополостный гиперболоид вращения содержит два семейства образующих. Подставив в уравнение меридиана (гиперболы) вместо

x выражение x2 + y2 , получим уравнение гиперболоида вращения:

	x2	+	y2	−	z	2	=1.
	R2		R2		R2k 2

Построение проекций однополостного гиперболоида вращения. Пусть ось вращения перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций (рис. 7).

Рис. 7

Г л а в а 11. Поверхности вращения и винтовые

249

Зададимся основными параметрами отсека поверхности – его высотой, наибольшей и наименьшей параллелями (верхняя и нижняя его параллели могут быть разного диаметра). Разделим бо´льшую параллель на равные части и пронумеруем их. Горизонтальные проекции образующей АВ должны касаться наименьшей окружности – горловины поверхности. После каждого последующего положения горизонтальной проекции образующей следует построить ее фронтальную проекцию.

При одном повороте образующей вокруг оси получается два семейства ее положений, совпадающих на обеих проекциях.

Это свойство однополостного гиперболоида было использовано выдающимся русским инженером В.Г. Шуховым при сооружении в 1921 году радиомачты на Шаболовке в Москве. Башня высотой 160 метров состоит из шести уменьшающихся кверху ярусов – отсеков гиперболоидов вращения. Каждый отсек, как и башня в целом, представляет собой жесткий каркас металлических стержней, соединенных между собой.

Такая конструкция обладает высокой экономичностью, прочностью и применяется в качестве опалубки железобетонных градирен, водонапорных башен, маяков и др.

Обратим внимание на то, что цилиндр и конус, так же как однополостный гиперболоид, являются линейчатыми, поскольку их можно образовать вращением прямой линии. Но эллипсоид, параболоид и двуполостный гиперболоид образуются при вращении не прямой, а эллипса, параболы и гиперболы, причем ось вращения выбирается так, чтобы образующая кривая располагалась симметрично по отношению к этой оси.

Уравнения поверхностей вращения – эллипсоидов, гиперболоидов и параболоидов, получаемых вращением их меридианов (эллипсов, гипербол, парабол) вокруг заданной оси, – определяются подстановкой в соответствующие

уравнения вместо x выражения x2 + y2 .

Примером применения параболоида вращения является зеркало рефлектора, образующее пучок лучей, исходящих из фокуса в параллельный пучок. То же относится и к отражающей поверхности автомобильных фар.

3.5. ТОР

При вращении окружности (или ее дуги) вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр, получается поверхность с названием тор.

	250				ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ
	Различают:	открытый тор (тор-кольцо), его эксцентриситет e =				r	<1
				r		R
	(рис. 8, а), замкнутый тор,		e =		=1 (рис. 8, б), самопересекающийся (закры-
				R

тый) тор, e = Rr >1 (рис. 8, в).

а

б

в

Рис. 8

Г л а в а 11. Поверхности вращения и винтовые

251

На рис. 8, а обозначены проекции экватора m, горловины n и полярных (предельных, двойных) параллелей k и l открытого тора. Точки на торе строят с помощью параллелей.

Внутреннюю часть открытого тора (все точки которой, за исключением граничных полярных параллелей, имеют отрицательную кривизну) в технике называют глобоидом (рис. 9). Пример применения – в червяке глобоидной червячной передачи (рис. 10).

Рис. 9

Рис. 10

На рис. 11 показано использование внутренней части самопересекающегося тора (тора-бочки).

Рис. 11

252 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Тор – алгебраическая поверхность четвертого порядка, ее уравнение

(x2 + y2 + z2 + R2 −r2 )2 = 4R2 (x2 + y2 ) .

Отсутствие в последнем множителе переменной z говорит о том, что ось z – ось вращения (ось тора). Прямая может пересекать тор не более чем в четырех точках. Любое плоское сечение – кривая четвертого порядка. В частных случаях она может распадаться на две кривые второго порядка.

Кривые, получаемые при сечении тора плоскостями, параллельными его оси, в общем случае называют кривыми Персея (греч. геометр, IV в. до н. э.) (рис. 12).

Рис. 12

Частными видами кривых Персея (рис. 13) могут быть:

•овалы Кассини (h = r);

•лемниската Бернулли (R = 2r; h = r);

•гиперболическая лемниската Бута (R > r; h = R – r);

•эллиптическая лемниската Бута (R < r; h = r – R).

Г л а в а 11. Поверхности вращения и винтовые

253

Рис. 13

Кривые, получаемые при сечении тора плоскостями, наклонными к его оси (рис. 14), называют спирическими ( от греч. спайра – витой).

Рис. 14