ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В ТЕОРИИ ИЗОБРАЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Что такое начертательная геометрия? ≈ Геометрическое моделирование – инструмент познания действительности ≈ Геометрическое пространство и его элементы ≈ Проекционное отображение – аналог понятия функции ≈ Метод двух изображений ≈ Модель точки в ортогональных проекциях
1. ЧТО ТАКОЕ НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ?
Известно, что информация о разных объектах (изделиях, зданиях, сооружениях и др.) при их проектировании и производстве чаще всего передается в виде чертежей, выполненных на бумаге, когда трехмерные объекты имеют двумерные изображения (правда, в последнее время информация об объектах может представляться не только в виде двумерных изображений, но и в виде трехмерных моделей).
В школе уже знакомятся с построением изображений простых предметов, но для выполнения чертежей более сложных объектов требуется больше знаний и о методах изображений, и об условностях и правилах, необходимых при этом. Эти методы и правила изучаются в инженерной графике, теоретической основой которой служит начертательная геометрия. В свою очередь начертательная геометрия является одним из разделов геометрии, в котором пространственные формы (совокупности точек, линий, поверхностей) с их геометрическими закономерностями изучаются в виде изображений на плоскости.
О начертательной геометрии можно сказать так: «Начертательная геометрия – это область науки и техники, занимающаяся разработкой научных основ построения и исследования геометрических моделей проектируемых инженерных объектов и процессов и их графического отображения» [4]. Или корот-
10 |
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ |
ко: начертательная геометрия – это наука, занимающаяся изучением графических методов отображения пространства (чаще всего трехмерного) на плоскость (реже поверхность).
Некоторые уточнения о курсе начертательной геометрии даны в рабо-
те [3].
2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ – ИНСТРУМЕНТ ПОЗНАНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ
Любая творческая деятельность человека связана с использованием моделей. Рисунки, чертежи, схемы, символы, речь, жизненные планы – все это модели. Почти все действия человека связаны с моделированием. Существуют разные определения моделей. Одно из них дано К.Е. Морозовым [5]: «Под моделью понимается объект любой природы, который способен замещать исследуемый объект так, что его изучение дает нам новую информацию об этом объекте». Существуют также разные классификации моделей. Нам интересно обратиться к одной из них, данной специалистами в области начертательной геометрии [2]. Из всего многообразия моделей ими выделяются следующие типы:
•образные (мысленные);
•лексические (с помощью словесных описаний);
•математические.
В свою очередь математические модели подразделяются:
•на аналитические (формулы);
•геометрические (пространственные конструкции). И, наконец, геометрические модели подразделяются:
•на предметные;
•расчетные;
•познавательные.
Мы не будем давать описание всех этих моделей, коснемся только трех последних.
Предметные модели – это геометрические модели, заменяющие реальные технические объекты.
Расчетные модели – это геометрические модели, которые удобно приспособить для часто повторяющихся технических расчетов. При этом исходным объектом, который подлежит отображению, является не вещь и не
Г л а в а 1. Основные понятия в теории изображения геометрических объектов |
11 |
предмет, а связь величин (параметров), описывающих некоторую реальную ситуацию.
Познавательные модели – это геометрические модели, предназначенные для планирования предстоящих работ, организации управления деятельностью предприятия, взвешивания и оценки возможных вариантов решения и т. п. Даже из приведенной классификации видно, что применение моделей и моделирования является мощным средством познания действительности.
Что касается начертательной геометрии, то в ней нас будут интересовать прежде всего предметные геометрические модели и процессы геометрического моделирования. Инженеру-механику необходимо свободно обращаться с предметными геометрическими моделями, заменяющими реальные технические объекты. Такими моделями реальных технических объектов являются чертежи, которые в каком-то смысле должны быть равноценны изображаемому объекту, т. е. чертеж и объект должны успешно заменять друг друга. Иначе говоря: чертеж объекта является его моделью.
3.ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
ИЕГО ЭЛЕМЕНТЫ
Геометрическое пространство является моделью реального физического пространства. Оно существует только в воображении и заполняется различными геометрическими образами, которых в физическом пространстве нет. Самыми простыми из них являются точки*, прямые и плоскости.
Из точек складываются линии, из линий – поверхности, а из поверхностей – пространственные конструкции. Простейшей поверхностью считается
плоскость. Точку принято считать нульмерным пространством R0 , линию – одномерным R1 , плоскость (поверхность) – двумерным R2 , а пространствен-
ный геометрический образ – трехмерным R3 . Размерность геометрического пространства может быть больше трех. Тогда его называют многомерным –
Rn . Геометрическая фигура (образ) представляет собой множество точек,
* Точка относится к основным неопределяемым понятиям геометрии. Она не имеет размеров. Однако при построении на чертежах ее принимают за физический объект, имеющий линейные размеры, чаще всего в виде окружности небольшого диаметра (до 1,5 мм) или как результат пересечения линий. Это делается для того, чтобы можно было изобразить ее и говорить о ее проекциях.