Г л а в а 8. Кривые линии, имеющие практическое применение. Обводы при проектировании |
193 |
2.5.2. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ КРИВЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Так как кривая второго порядка определяется пятью параметрами, то ее можно задать пятью условиями: пятью точками, тремя точками и двумя касательными и т. д.
Пусть даны точки А, В, С, D, Е (рис. 28). Построить обвод, проходящий через эти точки.
Рис. 28
1.Зададимся, например, двумя касательными tA , tB .
2.Строим UABK, где K = tA ∩tB .
3.На медиане KN выбираем произвольную точку M .
Кривая между A и B определяется двумя касательными tA и tB и точ-
кой M . Получим второй порядок гладкости, если обеспечим совпадение первой и второй производных дуг в точках стыка.
Меняя положение точки M , можно получить другую кривую второго порядка. Это дает возможность управлять формой кривой в отличие от радиусо-
графии. Величина f = MNKN
рактеризует тип кривой второго порядка.
В зависимости от значения величины f имеем:
эллипс (0 < f < 0,5);
194 |
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ |
параболу (f = 0,5); гиперболу (1 > f > 0,5).
Если же заданных дифференциально-геометрических условий об исходной кривой больше пяти, то соответствующими расчетами можно спроектировать обводы более высокого порядка гладкости.
2.5.3. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ОБВОДОВ СПЛАЙН-ФУНКЦИЯМИ
Поскольку объекты, которые приходится проектировать, имеют, как правило, сложную форму, не допускающую описания при помощи простых аналитических функций, мы вынуждены определять кривые и поверхности по частям. Непрерывность и гладкость кривых и поверхностей в местах соединения отдельных частей обеспечиваются выбором параметризации по обе стороны сочленения. Так как приходится вычислять касательные, нормали, кривизны и другие элементы кривых, то нам нужна такая параметризация, для которой легко выполняется операция дифференцирования. Для этой цели удобны полиномы от некоторого количества параметров. Однако для описания сложных кривых требуются полиномы высокой степени, применение которых может вызвать нежелательные колебания кривой. Кубические уравнения оказались удачными для большинства методов проектирования кривых линий и поверхностей.
Кубическую параметризацию для определения кривых и поверхностей при проектировании в самолетостроении впервые ввел Фергюсон в 1963 г., а Безье в 1970 г. перегруппировал члены параметрического кубического многочлена Фергюсона так, что физический смысл его коэффициентов стал более ясным. С тех пор использование параметрического представления кривых и поверхностей стало обычным. Важно то, что появилась возможность дать простое математическое описание закрученных кривых в трехмерном пространстве (прежде такие кривые определялись с помощью своих проекций на две взаимно перпендикулярные координатные плоскости).
В результате дальнейших интенсивных математических исследований в этой области были достигнуты большие успехи по теории сплайнов.
Сплайны – это функции, составленные из различных кусков алгебраических полиномов (многочленов). В авиа- и судостроении инженеры использовали длинные тонкие рейки, проводя с их помощью линии через заданные точки. Можно допустить, что упругая линия рейки состоит из кусков кубических полиномов.
Г л а в а 8. Кривые линии, имеющие практическое применение. Обводы при проектировании |
195 |
Каждая дуга такого сплайна представляется уравнением в векторной форме: r(t) = a0 +a1t +a2t2 +a3t3 .
В координатной форме для плоской кривой это выражение имеет вид
x(t) = a |
+a |
t +a |
t2 |
+a |
t3 |
; |
||
0x |
1x |
2x |
|
|
3x |
|
|
|
y(t) = a |
+a |
t +a |
|
t2 |
+a |
|
t3. |
|
0 y |
1y |
2 y |
|
3 y |
|
|
||
Здесь при изменении параметра t |
координаты x и |
y могут независимо друг |
||||||
от друга возрастать или убывать, допуская для кривой y = f (x) участки с вер-
тикальными касательными, а также возможность самопересечения. В случае пространственной кривой добавляется третье уравнение для координаты z,
аналогичное первым двум.
Для интерполирования таблично заданных функций кубические сплайны дают модель кривой второго порядка гладкости с высокой точностью. Сведения о построении кривой в форме Безье находим в работе Фокса и Пратта [10].
Кривая (рис. 29), представленная в форме Безье, проходит через точки r0 и r3, имеет касательную в точке r0, идущую от r0 к r1, и касательную в точке r3, идущую от r3 к r2.
Рис. 29
Прямые P0P1, P1P2 и P2P3 образуют фигуру, называемую характеристической ломаной заданной кривой, причем, как правило, эта ломаная не замкнута. Чтобы построить кривую, надо задать точки P0 и P3, через которые
196 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ
должна проходить наша кривая, затем на желаемых касательных к этой кривой в точках P0 и P3 задать точки P1 и P2. Увеличивая одновременно длины отрезков P0P1 и P2P3, можно придать кривой большую полноту. Если же увеличить только один из отрезков (P0P1 или P2P3), то кривая пойдет ближе к одной из касательных. Таким образом форма кривой будет изменяться.
Кривая Безье является частным случаем более общего сплайна – NURBS. NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) – нерегулярный рациональный
В-сплайн.
Чтобы построить кривую Безье, необходимо задать точки, через которые должна пройти кривая, и вызвать команду SPLINE (сплайн), или «Кривая Безье». Сплайны удобно редактировать ручками. Обо всем этом прочитайте в соответствующих руководствах по компьютерным технологиям.
ВЫВОДЫ
Кривые линии находят широкое техническое применение. К таким линиям относятся, например, циклические кривые: циклоиды, эпициклоиды, гипоциклоиды, спирали, завитки.
Циклические кривые составляют обширный класс кривых, образованных траекториями точек окружности, катящейся без скольжения по дуге другой окружности. Катящуюся окружность называют подвижной центроидой, а неподвижную – неподвижной центроидой. Кривые линии, построенные с помощью центроид, называют рулеттами (от франц. rouler – катать) или трохоидами.
При проектировании сложных технических объектов возникает необходимость определять конфигурацию их поверхностей. В основе определения поверхностей этих объектов лежат методы построения плоских гладких контуров. Эти контуры представляют собой сложные кривые, которые задать во всех точках с определенной закономерностью невозможно. Поэтому делают замену: аппроксимируют исходный массив точек другим, близким к нему массивом, подчиняющимся определенным закономерностям. При аппроксимации больших точечных массивов используют обводы, когда каждый участок кривой заменяют дугами известных кривых с высокой степенью точности и состыковывают их между собой. Получающиеся кривые линии называются обводами.
До широкого применения компьютерных технологий основными способами построения обводов были радиусография и интерполяция дугами кривых второго порядка (не окружностями). При построении обводов с помощью компьютера в настоящее время применяют сплайн-функции.
Г л а в а 8. Кривые линии, имеющие практическое применение. Обводы при проектировании |
197 |
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
ИСАМОПОДГОТОВКИ
1.Что такое циклоида, эпициклоида и гипоциклоида?
2.Приведите пример использования циклических кривых в технике.
3.Для чего нужны составные кривые линии (обводы) при проектировании поверхностей?
4.Что такое порядок гладкости кривой линии?
5.Как получить обвод ряда точек в компьютерной графике?
6.Что такое параметрическое число?