Г л а в а 12. Линейчатые поверхности

281

x =		( y − y1)		(x − x ) + x ;
	( y2 − y1)				2	1	1
z =		(x − x1)	(z		2	− z	) + z .
		(x2 − x1)				1	1

Коноиды применяют в строительстве для оболочек покрытий промышленных и общественных зданий, элементов мостов, их опор и других гидротехнических сооружений. В кораблестроении коноиды используются для носовой части ледоколов, катеров на подводных крыльях и т. д. В машиностроении коноидами являются поверхности шнеков, конических прямоугольных пружин и т. д. В самолетостроении используются линейчатые поверхности в форме клина при конструировании крыла самолета и т. д.

3.3. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД (КОСАЯ ПЛОСКОСТЬ)

Поверхность, полученная при скольжении прямой линии (образующей) по двум скрещивающимся прямым линиям (направляющим) параллельно плоскости параллелизма, называется гиперболическим параболоидом или косой плоскостью (рис. 19).

П2

П1

Рис. 19

282	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Косая плоскость вырождается в обыкновенную, если направляющие линии будут не скрещивающимися, а пересекающимися или параллельными.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые m и n (направляющие) и горизонтально проецирующая плоскость α (плоскость параллелизма) (рис. 20). На горизонтальной проекции прямой m отметим ряд произвольных точек 1–7 и проведем через них прямые, параллельные плоскости α. Построим теперь их фронтальные проекции. Совокупность проведенных прямых дает семейство образующих, параллельных плоскости параллелизма. Если теперь принимать за направляющие две крайние образующие 1–1 и 7–7, а в качестве плоскости параллелизма – горизонтально проецирующую плоскостьβ, то получим вто-

рое семейство образующих параболоида (они не помечены). Образующие каждого семейства – скрещивающиеся прямые, каждая образующая одного семейства пересекает все образующие второго семейства. Таким образом, гиперболический параболоид имеет непрерывный сетчатый каркас из двух семейств пересекающихся образующих. Это обстоятельство придает поверхности большую пространственную жесткость, хорошую технологичность изготовления.

Рис. 20

Г л а в а 12. Линейчатые поверхности

283

Криволинейные очертания поверхности на фронтальной и профильной проекциях представляют собой параболы. Если же найти горизонтальные следы образующих, как это показано для нескольких из них, то, соединив такие следы плавной кривой, получим гиперболу. В пересечении поверхности плоскостью, параллельной плоскости xOy, получается также гипербола. Со всем этим связано название поверхности – гиперболический параболоид.

При выводе уравнений простейших линейчатых поверхностей записывают уравнения образующей, выражая коэффициенты через параметры уравнений направляющих.

Допустим, что у косой плоскости направляющими являются две скрещивающиеся прямые m и n, а все образующие параллельны плоскости параллелизма (рис. 21).

Рис. 21

Пусть уравнения направляющих даны в виде y1 = x1 +1; y2 = x2 −1;

z1 = −2x1 −1; z2 = 2x2 −1; y = −x +a,

где а – параметр пучка плоскостей.

Решая эту систему, получаем			z1 = −z2 . Подставив x1, y1, z1 и x2, y2, z2, где
z1 = −z2 , в каноническое уравнение прямой
	x − x1		=	y − y1			=	z − z1			,
	x	− x		y	2	− y		z	2	− z
2		1				1				1

получим z = x2 − y2 , т. е. уравнение гиперболического параболоида.