330	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

5.2.ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ДИМЕТРИЯ

Вто время как прямоугольная изометрия существует только одна, прямоугольных диметрий можно построить бесчисленное множество. Наиболее простую и распространенную диметрию получают, если

u = w и v = u2 .

Вычислим показатели искажений по осям. Из уравнения u2 + v2 + w2 = 2 имеем:

u2 + u2 +u2 = 2 , 4

откуда

u = 2 32 ≈ 0,94 ,

тогда

u = w = 0, 94; v = u2 = ≈ 0,942 ≈ 0, 47 .

Итак, диметрический масштаб измерения по двум осям x′ и z′ равен ≈ 0,94, а по оси y′ равен ≈ 0,47, т. е. по аксонометрическим осям происходит

сокращение размеров на эти величины.

На практике пользуются приведенными показателями искажения: вместо 0,94 принимают 1, а вместо 0,47 – 0,5. Тогда изображение становится увеличенным в 1,06 раза по сравнению с диметрией, построенной с помощью точ-

	ных показателей искажения	1	=	0,5	=1, 06 .
		0,94		0, 47

Определим углы между осями прямоугольной диметрии, для чего воспользуемся треугольником следов A′ B′ C′ (рис. 12). Так как из-за равенства показателей искажения по осям x′и z′ он – равнобедренный, то его высота является в то же время и медианой, т. е. A′K′= K′ C′. Из прямоугольного треугольника O′ K′ C′ имеем:

sin δ = OK′′CC′′ = 2AO′C′C′′ , так как K′C′ = 12 A′C′.

Г л а в а 14. Аксонометрические проекции

331

Рис. 12

Чтобы определить это соотношение, выразим оба его члена через отрезок

OC

′

натуральной координатной оси z. Равнобедренный треугольник

′ ′ ′

A O C

является проекцией прямоугольного треугольника

′

′

(см. рис. 5), поэтому

A OC

′ ′

= OC

′

2 .

A C

Далее имеем

′ ′

′

, но ω=

2

2

.

3

O C

= ω OC

Поэтому

O′C′ = 2 32 OC′,

откуда

2O′C′ = 4 32 OC′.

332		ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ
Следовательно,
		4		2			3
sin δ = (OC′	2)	:			OC′	=	4	= 0,75.
				3
что соответствует равенству угла δ°					′	. Тогда угол			′ ′	′	равняется
				= 48°35					A O C

двум углам δ°, т. е. 97°10′.

Обычно ось z′ при построении диметрических проекций располагают вертикально, тогда треугольник следов и его высоты (аксонометрические оси)

займут положение,		показанное		на			рис. 12. В этом		случае угол	′ ′	=
										DO A
′		′	′		′		′	′	′	′
= (97°10	−90°) = 7°10 , угол		DO K			= (δ−7°10 ) = (48°35			−7°10 ) = 41°25 .

Расположение аксонометрических осей показано на рис. 13: ось z′ – вертикально, ось x′ составляет с горизонтальной линией угол 7°10′ , а ось y′ –

41°25′.

Рис. 13

Углы между осями можно брать из соотношения катетов прямоугольных треугольников, гипотенузы которых указывают направление осей. Так,

′	=	1	;	′	=	7
tg 7°10		8		tg 41°25		8 .

При построении точной прямоугольной диметрии значения координат по направлению осей x′ и z′ умножают на величину 0,94, а по оси y′ – на величи-

ну 0,47.

На практике пользуются ПРИВЕДЕННЫМИ показателями искажений, равными 1 и 0,5, при этом все элементы изображения увеличиваются в 1/0,94 = = 1,06 раза.

Г л а в а 14. Аксонометрические проекции

333

На рис. 14 показаны три эллипса, изображающие окружности, расположенные в плоскостях, параллельных координатным плоскостям в прямоугольной диметрии.

Рис. 14

В диметрии, так же как в изометрии, большие оси эллипсов перпендикулярны осям, отсутствующим в плоскости изображаемой окружности, а малые имеют направления аксонометрических осей. В натуральной диметрии большие оси эллипсов равны диаметру d окружности, а в приведенной они равны 1,06d. На рис. 14 указаны размеры осей эллипсов с учетом приведенных показателей искажения.

На практике часто эллипсы заменяют овалами. Для их построения в плоскостях xOy и yOz (и им параллельных) проводят большие и малые оси

D = AB =1, 06d и d			= СD =	1	D		, затем на продолжении малой оси от точ-
		0
	0		3		0

ки О в ту и другую стороны откладывают размер D0, получая центры О2 и О3 (рис. 15). Из этих центров через точки С и D проводят дуги радиусом

R = D0 + 12 d0 .

334	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Из центров О1 и О4, отстоящих от концов А и В большой оси на расстоянии

14 d0, проводят дуги радиусом r. Эти дуги доводят до точек сопряжения 1 и 2, 3 и 4, полученных на продолжении линии центров сопрягаемых дуг.

АВ z или AB x AB = D0 = 1,06d

1

СD = d0 = 3 D0 = 0,35d

1

R = D0 + 2 d0

1

r = 4 d0

d – диаметр окружности

Рис. 15

Для построения овала, расположенного в плоскости xOz (или в плоскости, параллельной ей), проводят прямую, перпендикулярную оси y, отсутствующей в данной плоскости (рис. 16). На этой прямой откладывают величину большой

оси D0 = АВ. Малую ось d0 = СD откладывают на прямой, совпадающей

Г л а в а 14. Аксонометрические проекции

335

снаправлением оси y, перпендикулярной АВ. Из точки пересечения большой

ималой осей проводят окружность диаметра d1 = 0,2d, получая центры 1, 2, 3 и 4. Из центров 1 и 3 проводят дуги радиусом R, а из центров 2 и 4 – дуги радиусом r. Дуги радиусами R и r доводят до точек сопряжения 5 и 6, полученных на продолжении линии центров сопрягаемых дуг.

АВ y

AB = D0 = 1,06d

СD = d0 = 0,94d

d – диаметр окружности

Рис. 16

Пример. Построить прямоугольную диметрию цилиндра со сквозным отверстием треугольной формы (рис. 17)*.

Начало координат совместим с центром нижнего основания, а ось z c осью цилиндра. В данном случае вторичную проекцию целесообразно построить на координатной плоскости x′O′z′ , поскольку для этого потребуется провести только прямые линии. Такой проекцией служит параллелограмм A2′B2′C2′D2′ и

треугольник E2′F2′G2′ . Для того чтобы придать чертежу большую наглядность, цилиндр изобразим с вырезом одной четверти.

* Пример приведен из работы [19].

336	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Рис. 17

Не останавливаясь на вычерчивании эллипсов – контуров верхнего и нижнего оснований цилиндра, рассмотрим построение одной из точек N′ эллиптической дуги, по которой наклонная плоскость треугольного отверстия пересекает цилиндрическую поверхность.

Аксонометрическую проекцию N′ точки N можно найти как с помощью ортогонального чертежа, так и независимо от него. В первом случае на ортогональных проекциях определяем две прямоугольные координаты xN и yN

этой точки. Затем с помощью координаты xN на прямой E2′G2′ показываем вторичную проекцию N2′ . Наконец, через N2′ проводим прямую, параллельную оси y′, и откладываем на ней от точки N2′ отрезок, равный 0,5 yN . Дру-

гими словами, N′ строим способом координат.

Та же точка может быть определена пересечением образующей L′M ′ цилиндра и горизонтали N2′N′ наклонной плоскости отверстия, причем и обра-

зующая, и горизонталь должны принадлежать одной плоскости α, параллельной координатной плоскости y′O′z′. На рис. 17 аналогично найдены и осталь-

ные точки кривой наклонного сечения.