98	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Таким образом, в евкидовом пространстве, дополненном несобственными элементами, центральное проецирование (а также и параллельное, как частный случай центрального) устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством точек плоскости П (натуральная плоскость) и множеством точек плоскости П′ (плоскость проекций).

Рассмотрим подробнее некоторые свойства такого соответствия отдельно для центрального и параллельного проецирования.

2. ПЕРСПЕКТИВНАЯ КОЛЛИНЕАЦИЯ

Пусть плоскость П проецируется из центра S на плоскость П′ (рис. 7). Тогда каждой точке, например С, в плоскости П соответствует точка С′ на плоскости П′.

Рис. 7.

Также и каждой точке С′ плоскости П′ соответствует точка С плоскости П. Таким образом, операция проецирования устанавливает взаимно однозначное

Г л а в а 5. Соответствие плоских полей при центральном и параллельном проецировании

99

соответствие между точками двух плоскостей. Каждой фигуре одного поля (совокупности точек) соответствует некоторая фигура другого поля, например, прямая проецируется в прямую.

Такое взаимно однозначное соответствие плоских полей называется коллинеарным или коллинеацией (перспективной). Прямая m пересечения П и П′ является особой прямой, которую называют осью коллинеации. Каждая точка ее является двойной точкой (сама точка и ее проекция совпадают). Линия m – ось коллинеации.

Возьмем еще одну произвольную точку – точку А. Чтобы построить ее проекцию А′, продолжим СА до пересечения с m в точке 1, соединим ее с точкой С′, а точку А – с точкой S. В пересечении отметим точку А′. Возьмем еще одну произвольную точку В, проделаем ту же процедуру, определив точку В′. На прямой m оказались еще две точки: точка 2 и точка 3.

Проанализируем построение. Вершины треугольников лежат на проецирующих лучах, проведенных из центра S. Соответствующие стороны треугольников лежат в проецирующих плоскостях (образованных лучами, выходящими из центра S), которые пересекают ось в точках 1, 2, 3.

АС∩А′С′ = 1; BC∩B′C′ = 2; AB∩A′B′ = 3.

Если взять луч параллельно П, то по проекции N′ нельзя найти точку N. Нет взаимно однозначного соответствия. Выходит, что и здесь для устранения нарушенной закономерности надо дополнить геометрические элементы бесконечно удаленными точками. Мы приходим к теореме проективной геометрии – так называемой теореме Дезарга (1639 г.) (Жерар Дезарг, 1591–1661, современник Рене Декарта).

Теорема Дезарга

Если у двух треугольников прямые, соединяющие вершины, пересекаются в одной точке (S), то точки пересечения соответственных сторон принадлежат одной прямой m.

Теорема не требует доказательств – это объективная данность, что показано в работе профессора К.И. Валькова [2]. Однако в другой, ранее изданной учебной литературе, теорема Дезарга доказывается.

100	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Гомология

Если П′ повернуть вокруг оси m до совмещения с плоскостью П, то соответствие между точками плоскостей сохранится и перспективная коллинеация не нарушится (рис. 8). Взаимно однозначное соответствие двух совмещенных плоскостей называется гомологией.

Рис. 8

3. ПЕРСПЕКТИВНО-АФФИННОЕ (РОДСТВЕННОЕ) СООТВЕТСТВИЕ

Удалим центр проецирования в бесконечность – получим параллельное проецирование. Это частный случай перспективной коллинеации (рис. 9, а).

Соответствие двух плоскостей, установленное параллельным проецирова-

нием, называется перспективно-аффинным (родственным). Это – перспектив-

ная коллинеация с несобственным центром. Все свойства перспективной коллинеации сохраняются и добавляются свойства параллельного проецирования: параллельность прямых и отношение отрезков параллельных прямых. Соответствие, установленное в пространстве между двумя плоскостями при параллельном проецировании, сохраняется и при совмещении плоскостей. Получается тоже гомология, как и в центральном проецировании.

Г л а в а 5. Соответствие плоских полей при центральном и параллельном проецировании

101

а

б

в

Рис. 9

На рис. 9, а показано перспективно-аффинное (родственное) соответствие двух плоскостей, а на рис. 9, б и в – гомология, полученная при совмещении плоскостей вращением их в одну и в другую сторону.

4. СРАВНЕНИЕ ДВУХ ГОМОЛОГИЙ

Сравним две гомологии: перспективную коллинеацию (рис. 10) и перспек- тивно-аффинное (родственное) соответствие (рис. 11). Видим, что в обоих случаях справедлива «теорема» Дезарга, только для перспективно-аффинного соответствия (рис. 11) прямые линии, соединяющие вершины треугольников, пересекаются в несобственной точке. Таким образом, эпюр Монжа, о котором мы все время говорили, представляет собой гомологию в перспективно-аф- финном соответствии.

Рис.10

Рис.11

Рис. 13

Рис. 12

102	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

На эпюре перспективная коллинеация может быть задана (рис. 12):

•осью гомологии m;

•центром проецирования S;

•двумя соответственными точками,

например, А1 и А2.

Родственное соответствие может быть задано (рис. 13):

• осью родства m;

• двумя родственными точками, на-

пример, А1 и А2. Теперь можно утверждать, что на эпюре

Монжа (рис. 14) горизонтальная и фронтальная проекции одной и той же плоской фигуры являются фигурами, родственными между собой. Это верно, так как горизонтальные и фронтальные проекции всех точек лежат на линиях, перпендикулярных к оси проекций, значит, они параллельны друг другу. Это верно, так как точки пересечения обеих проекций каждой прямой, принадлежащей плоской фигуре, лежат на одной определенной прямой – оси родства.

В самом деле, продолжим проекции сторон UABC до их пересечения. Видим, что точки пересечения оказываются расположенными на одной прямой. Это – двойная прямая (ось родства), обозначенная буквой m. На рисунке показана линия, проходящая под углом 45° к оси x. Это – линия пересечения треугольной пластинки с биссекторной* плоскостью второй и четвертой четверти пространства. Линия m (ось родства) лежит в биссекторной плоскости второй и четвертой четверти пространства.

Положение линии m зависит от положения в пространстве плоскости, заданной треугольником АВС, но не от положения этого треугольника в его плоскости.

На рис. 14 показано также, как по одной из проекций (D2) точки D, принадлежащей плоскости, заданной треугольником АВС, определена ее недостающая проекция D1 c помощью родственной прямой DA.

* Биссекторная плоскость – плоскость, делящая четверти или октанты пополам.

Г л а в а 5. Соответствие плоских полей при центральном и параллельном проецировании

103

Рис. 14

В заключение отметим следующее.

1.Если задать направление проецирования, то между двумя плоскостями устанавливается родство. Любой точке одной плоскости соответствует определенная точка другой плоскости.

2.При совмещении плоскостей проекций (вращением около прямой их пересечения) это свойство сохраняет свою силу, но в таком случае взамен направления проецирования в пространстве задается направление родства.

Операцию проецирования в пространстве можно заменить построением на плоскости. Для этого достаточно задать пару родственных точек и ось родства.

3. При этом выясняются важные свойства параллельного проецирования: а) точка преобразуется в точку; б) прямая преобразуется в прямую;

в) параллельные между собой прямые – в прямые, также параллельные между собой.

Таким образом, основными неизменяемыми («инвариантными») свойствами аффинного преобразования являются прямолинейность и параллельность.