152	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Рис. 14

10. КРИВИЗНА ОКРУЖНОСТИ

Окружность является простейшей из кривых линий, так как она изгибается равномерно.

Рассмотрим движение точки М по окружности радиусом R (рис. 15). Угол Δτ между касательными в двух положениях М1 и М2 точки М – это централь-

ный угол М1ОМ2 между радиусами ОМ1 и ОМ2, поэтому Δτ = RS радиан.

Отсюда

S

ΔτS = RS = R1 .

Г л а в а 7. Кривые линии	153

Рис. 15

Полагая S → 0 , можно сказать, что кривизна окружности равна обратной величине радиуса во всех ее точках: k = R1 .

Ясно, что прямую линию можно считать окружностью с бесконечно большим радиусом и, значит, ее кривизна равна нулю. Кривизна других кривых в каждой точке различна. Так, например, кривизна в точке А кривой m больше

кривизны в точке А1 (рис. 16).

Рис. 16

154	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

11. КРИВЫЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Алгебраические кривые, которые описываются уравнением второй степени относительно текущих координат, называют кривыми второго порядка.

Общее уравнение второй степени с двумя переменными имеет вид

				Ax2 +2Bxy +Cy2 +2Dx +2Ey + F = 0 .
	Если здесь положить A =					1	, B = 0, C =	1	, D = 0, E = 0, F = −1, то полу-
						a2		b2
		x2		y2
	чим выражение		+		=1.
		a2		b2

Оно определяет уравнение эллиптического типа – эллипс или (в частном случае) окружность.

Если положить A = 1 a2

уравнение

	, B = 0, C = −				1		, D = 0, E = 0, F = −1 , то получим
					b2
		x2	−	y2		=1,
		a2		b2

которое определяет кривую гиперболического типа – гиперболу или пару пересекающихся прямых.

Если положить A = 0, B = 0, C =1, D = −P, E = 0, F = 0 , то получим уравнение

y2 = 2Px ,

определяющее кривую параболического типа – параболу, пару параллельных прямых (в частном случае совпадающих) или мнимое множество точек.

Рассмотрим подробнее свойства кривых второго порядка.

11.1. ЭЛЛИПС

Эллипсом называется замкнутая плоская кривая линия, сумма расстояний от каждой точки которой до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная, бо´льшая, чем расстояние между фокусами.

Г л а в а 7. Кривые линии

155

Пусть в плоскости даны две точки FA и FB (фокусы) на расстоянии 2с друг от друга (рис. 17).

Рис. 17

Любая точка Е плоскости принадлежит эллипсу, если соблюдается условие

EFA + EFB = 2а,

где 2а – данная длина (величина большой оси эллипса). Если фокусы FA и FB совпадают, то

EFA = EFB = а.

Получается множество точек, равноудаленных от одной данной точки, т. е. окружность (частный вид эллипса).

Каноническое уравнение эллипса:

	x2	+	y2	=1.
	a2		b2

Отрезки AB и CD, соединяющие противоположные вершины эллипса, равные 2а и 2b, называют соответственно большой и малой осями эллипса.