Г л а в а 10. Сложные поверхности

229

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Для кинематического способа образования поверхностей закон перемещения в пространстве образующей удобно задавать неподвижными кривыми, которые называют направляющими линиями. Для сложных поверхностей этими линиями являются пространственные кривые линии. (В начертательной геометрии пространственные кривые линии обычно рассматриваются как результат пересечения поверхностей. Так, например, при взаимном пересечении двух поверхностей вращения получается пространственная кривая четвертого порядка).

Подробно пространственные кривые, так же как и плоские, изучаются в дифференциальной геометрии. Здесь мы познакомимся только с некоторыми понятиями из этой области.

4.1. ТРЕХГРАННИК ФРЕНЕ

Рассмотрим пространственную кривую как траекторию движущейся точки. На рис. 8 изображена точка А пространственной кривой s. Все множество нормалей к кривой в этой точке образует нормальную плоскость β. Все плоско-

сти, проходящие через касательную t, называются касательными плоскостями. Одна из них называется соприкасающейся плоскостью α. Она является предельным положением плоскости, определяемой данной точкой и двумя наиболее приблизившимися к ней с обеих сторон точками, расположенными на кривой. Участок кривой в окрестности точки А можно рассматривать как плоскую, т. е. принадлежащую соприкасающейся плоскости. Плоскость γ, прохо-

дящая через касательную t и перпендикулярная плоскостям α и β, называет-

ся спрямляющей. В этой плоскости в окрестности точки А кривая наиболее близка к прямой. Кривая всегда находится с одной стороны спрямляющей плоскости (за исключением точек перегиба). Нормаль nα , по которой пересе-

каются плоскости α и β, называется главной нормалью, а нормаль nβ , являющаяся результатом пересечения β и γ, называется бинормалью.

Плоскости α, β и γ образуют грани сопровождающего трехгранника (Френе), который позволяет изучать дифференциальные свойства кривой. На рис. 8 изображен круг кривизны mА в точке А с центром кривизны ОА и

230	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Рис. 8

радиусом кривизныρA . Кривизна k1 пространственной кривой определяется как величина, обратная величине радиуса ρ кривизны, т. е. k1 = ρ1 . В диффе-

ренциальной геометрии доказывается, что кривизна k1 характеризуется скоростью вращения трехосника nα , nβ , t вокруг мгновенных бинормалей nβi при

движении трехосника по кривой. Кручение k2 пространственной кривой характеризуется скоростью вращения трехосника nα , nβ , t вокруг мгновенных глав-

ных нормалей nαi при движении трехосника по кривой.

Исследование свойств кривой в окрестностях ее точки, так называемых дифференциальных (локальных) свойств, ведется посредством построения проекций кривой на грани сопровождающего трехгранника.

Г л а в а 10. Сложные поверхности

231

4.2. ЕСТЕСТВЕННЫЕ КООРДИНАТЫ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ

Естественными координатами пространственной кривой являются величины s , α° и β° (рис. 9),

Рис. 9

где s – расстояние, на которое точка перемещается от начального своего положения в рассматриваемое;

α° – угол поворота полукасательной при этом перемещении точки, т. е. угол между смежными полукасательными (его называют углом смежности);

β° – угол поворота соприкасающейся плоскости при том же перемещении

точки, т. е. угол между смежными бинормалями (его называют углом кручения). Пространственные кривые, у которых величины s , α° и β° непрерывно

увеличиваются, называют монотонными. Радиус кривизны кривой в заданных точках:

	r =	lim	s
			Δα°
		s→0

	Величина	k = 1 = Δα° называется первой кривизной кривой в данной точке.
		1	r	s
	Величина p = lim			s	называется винтовым параметром кривой в данной
				Δβ°
			s→0

точке.

Величина k2 = 1p = Δβ°s называется кривизной кручения (второй кривизной)

кривой в данной точке.

232	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

5. КРИВЫЕ ЛИНИИ НА СФЕРЕ

На сфере (шаре) можно построить как плоские, так и пространственные кривые линии. Все плоские кривые линии на сфере являются окружностями или их дугами. О двух из них – параллелях и меридианах – мы уже упоминали.

Окружность, полученная от пересечения сферы любой плоскостью, проходящей через ее центр, называется геодезической линией. Она кратчайшим путем соединяет любые точки на сфере. Геодезическую линию называют еще

брахистодой или ортодромией.

Краткие сведения о других кривых линиях на сфере находим в работе [4]. Например, среди пространственных кривых линий на сфере важное значение имеет кривая, пересекающая все меридианы под одним и тем же углом. Такая кривая называется локсодромией. Она используется в судовождении и авиации. Корабль (или самолет), следуя на дальние расстояния, держится постоянного курса, т. е. придерживается постоянного угла между меридианом и направлением движения корабля (самолета). Траекторией движения при этом является локсодромия. Она прокладывается на сфере по спирали, делает бесконечно большое число оборотов и стремится к полюсам. Локсодромия не является кратчайшей линией на земной поверхности. Чем больше расстояние между двумя точками и чем дальше они от экватора, тем больше относительная разность (в процентах) между локсодермическим и кратчайшим (ортодермическим) расстояниями между этими точками. Например, длина ортодромии между Москвой и Нью-Йорком равна 7502 км, а длина локсодромии – 8343 км (на 11 % больше).

Передвижение по ортодромии сопряжено с необходимостью непрерывного изменения курса. Это трудно осуществить, поэтому плавания и полеты совершаются не точно по ортодромии, а по некоторой ломаной, вершины которой расположены на ортодромии, а стороны являются дугами локсодромии. В навигации для построения локсодромии широко используются проекции Меркатора*, в которых все локсодромии изображаются прямыми. Это облегчает измерение расстояний и прокладку курса корабля (самолета), идущего по локсодромии. Почти все навигационные и морские карты составляются в проекциях Меркатора.

* Меркатор Гергард (1512–1594) – выдающийся фламандский картограф.