82	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Рис. 18

Решить задачу можно по такой схеме:

•через точку K проведем вспомогательную плоскость α, перпендикулярную прямой m, задав ее горизонталью и фронталью;

•определим точку Е пересечения вспомогательной плоскости с данной прямой m, заключив ее в плоскость β;

•соединим точку Е с точкой K прямой линией.

Отрезок прямой EK перпендикулярен прямой m.

4. ОБОБЩЕННЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

Позиционные задачи занимают важное место в начертательной геометрии. Ранее мы рассматривали такие задачи, связанные с нахождением точки пересечения прямой линии с плоскостью и построением линии пересечения плоскостей. Теперь рассмотрим способы решения позиционных задач с участием кривых линий и поверхностей. Эти задачи называют обобщенными. Задачи с участием прямых линий и плоскостей являются их частными случаями. В общем же случае эти задачи формулируют так:

1) построить точки Li пересечения кривой l с поверхностью Φ; 2) построить линию m пересечения двух поверхностейΦ и .

Г л а в а 4. Взаимное расположение плоскостей и прямых линий. Позиционные задачи

83

4.1. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ

Пересечение кривой линии с поверхностью может быть как в одной, так и в нескольких точках. Задачу по определению этих точек решают по схеме, которая повторяет в обобщенном варианте схему построения точки пересечения прямой линии с плоскостью.

Пусть необходимо определить точку (или несколько точек) пересечения кривой линии b c цилиндрической поверхностью (рис. 19). Решение состоит из трех действий:

1)кривую b заключают во вспомогательную (цилиндрическую) проецирующую поверхность Г;

2)строят линию m пересечения данной цилиндрической и вспомогательной (тоже цилиндрической) поверхности;

Рис. 19

3) отмечают точку K пересечения данной и построенной линии, которая и является искомой точкой пересечения кривой линии b с данной поверхностью. Таких точек пересечения может быть несколько.

Приведенное решение – типовое.

84	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

4.2. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Задача по определению линии пересечения поверхностей является обобщением задачи на построение линии пересечения двух плоскостей. Ее решают введением вспомогательных поверхностей, называемых посредниками.

На рис. 20 показаны две поверхности Φ и , линию пересечения которых необходимо определить. Это определение выполняют в такой последовательности:

а) строят линию qi	пересечения посредника Γi с поверхностью Φ;
б) строят линию d i	пересечения этого же посредника с поверхностью ;

в) отмечают точки Ai, B i пересечения линий qi, d i между собой, которые принадлежат искомой линии пересечения поверхностей.

Рис. 20

Такие операции выполняют со всеми посредниками. Множество полученных точек, соединенных плавной кривой, определяет искомую линию пересечения.

При выборе посредников исходят из того, чтобы они пересекали данные поверхности по простым линиям. К простым линиям, как известно, относятся прямые линии и окружности.

Для построения линий пересечения простейших поверхностей часто используют вспомогательные плоскости и сферы.

Вспомогательные плоскости уровня применяют для построения линии пересечения поверхностей, имеющих графически простые одноименные линии уровня (прямые и окружности).

Вспомогательные сферы имеют две разновидности: концентрические и эксцентрические. Построение линии пересечения начинают с определения ее опорных точек, к которым относятся экстремальные точки и точки видимости.

Г л а в а 4. Взаимное расположение плоскостей и прямых линий. Позиционные задачи

85

Экстремальные точки – это точки, принадлежащие граничным посредникам в пределах области их использования.

Способ концентрических сфер применяют для построения линии пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями и общей плоскостью симметрии, когда никакие плоскости не могут рассекать поверхности по графически простым линиям одновременно.

Рассмотрим способ концентрических сфер для построения линии пересечения двух конических поверхностей вращения, имеющих общую плоскость симметрии R (рис. 21). Определим сначала экстремальные точки кривой A и B – точки пересечения меридианов обеих поверхностей и центр вспомогательных сфер O.

Рис. 21

Сферы-посредники пересекают поверхности конусов по окружностям, которые проецируются на П2 в виде хорд.

Окружности пересекаются между собой в точках, принадлежащих искомой линии пересечения. Для построения горизонтальной проекции линии пересечения используем принадлежность построенных точек параллелям поверхно-