3.1. Багатофакторш економетричш модел1 та Ух специфшащя

У багатьох дослщженнях виявляеться, що деяка результативна ознака змшюеться шд впливом не одного, а кшькох фактор1в. Зокре-ма, анал1зуючи економ1чну д1яльн1сть шдприемства та прогнозуючи його подальший розвиток, дослщжують таю функцп:

1. виробничу функщю, що визначае залежшсть м1ж обсягом ви-роблено! продукцп та витраченими для цього ресурсами, наприклад основним кашталом i працею;

2. функщю цши, що дае змогу дослщити, як змiниться цiна то­вару, якщо змшиться обсяг поставок та цши конкуруючих товарiв;

3. функщю попиту, що дае змогу встановити, як змшиться попит на продукщю, якщо змшюватимуться цша товару, цши товарiв-кон-курентiв i доходи споживачiв;

4. функцiю витрат, що описуе залежшсть середшх витрат на ви-робництвi вiд цiни та кшькосп виробничих ресурсiв;

5. функцiю чутливосп ринку, яка визначае залежнiсть обсягу збу-ту продукцГ! вiд витрат на рекламу та индексу "чистоти" вироблено! продукцГ! ("екологiчного iндикатора");

6. рiвняння стратегГ! пiдприемства, у якому вщображаеться за-лежнiсть рентабельностi шдприемства вiд питомо! ваги на ринку то-варiв, подiбних до тих, яю виробляе пiдприемство, а також вщ якостi товарiв, витрат на маркетинг i науковi дослiдження, вщ iнвестицiй-них витрат тощо.

Розглянемо детальнiше першу з цих функций. Будь-яка виробнича система характеризуеться залежшстю мiж кiлькiстю вироблено! в нiй продукцГ! та спожитими для цього ресур­

сами. Причому певш показники nie'i залежносп мають деяю випадков1 коливання. Залежшсть мiж ними, формалiзовану у вщповщний cnoci6 у виглядi регреciйнoгo рiвняння, називають виробничою функщ'ею.

Якщо виробнича функцiя вiдoма, то за кшыастю спожитих сис­темою реcурciв можна передбачити юлыасть вироблено" продукцп i, навпаки, за заданою кiлькicтю вироблено! продукцп можна розраху-вати необхщну кiлькicть вiдпoвiдних реcурciв.

У реальних системах неможливо врахувати ва мoжливi фактори, що впливають на обсяги продукцп. Тому розглядають найвизначшип з них i на пiдcтавi спостережень за цими факторами та результатом виробни-чо! дiяльнocтi будують так звану емшричну виробничу функцiю.

Отже, виробнича функцiя - це економетрична модель, яка кiлькicнo описуе зв'язок основних результативних пoказникiв виробничо-госпо-дарсько! дiяльнocтi з факторами, що визначають щ показники.

Bирoбничi функцп можуть мати рiзнi галузi застосування, оскшь-ки принцип "витрати — випуск", покладений в основу залежнocтi, може бути реалiзoваний як на мiкрoекoнoмiчнoму, так i на макроеко-нoмiчнoму рiвнi.

На мiкрoекoнoмiчнoму рiвнi за допомогою таких функций, на­приклад, описують зв'язок мiж величиною використаного ресурсу протягом року та рiчним обсягом випуску продукцп одного шдпри-емства, одше! галузi чи мiжгалузевoгo виробничого комплексу. Якщо виробничою системою е регюн чи краша загалом, то маемо виробни­чу функщю для макрoекoнoмiчнoгo рiвня.

Приклад. Нехай виробничу функщю задано у виглядi / (x) = ax^b, де x — величина витраченого ресурсу (наприклад, робочого часу), / (x) — обсяг випущено! продукцп (наприклад, кшьюсть готових ви-рoбiв). Величини a та b — параметри виробничо! функцГ! /(x). При­чому a та b — дoдатнi числа, а b < 1. Задана функщя /(x) за малих значень аргументу дае значний прирют, якщо x збiльшуетьcя на оди-ницю; за великих значень аргументу таке саме збшыиення аргументу зумовлюе значно менший прирют функцп. Ця властивють /(x) вiдбивае фундаментальне положення екoнoмiчнol теор^!, яке нази-ваеться законом спадно! ефективнocтi, а сама функщя е типовим представником однофакторних виробничих функций.

У реальних ситуащях обсяг випуску продукцп визначаеться, як правило, не одним, а багатьма факторами, тому часпше застосовують багаторесурсш або багатофакторш вирoбничi функцп. Найпошире­шшою серед них е виробнича функцГя Кобба — Дугласа, яка описуе залежшсть мГж обсягом вироблено! продукцп Y i витратами працi L та кашталу F:

Y = aF^а L^e

Множник a i показники степеня а та в — параметри ще! моделГ. Задана в такому виглядГ виробнича функщя е мультиплшативною (не-лГнГйною вГдносно параметрГв). Логарифмуванням !! можна звести до адитивного (лшшного вГдносно параметрГв) вигляду:

ln Y = a + а ln F + в ln L.

Зазначена функщя мае таю властивостГ:

1. коефпцент а показуе, на скгльки вГдсоткГв змГниться обсяг ви-пуску продукцп, якщо витрати пращ змшяться на 1 %, а витрати ка­шталу залишаться незмшними. Такий показник називаеться коефщд-ентом еластичностГ випуску за витратами пращ;

2. коефщент в е коефГцГентом еластичностГ випуску за витрата­ми капГталу;

3. сума параметрГв а + в описуе масштаб виробництва.

Якщо ця сума дорГвнюе одинищ маемо постгйний масштаб вироб­ництва. А це означае, що зГ збГльшенням обох виробничих ресурсГв на одиницю обсяг продукцп також зросте на одиницю. Якщо сума менша одинищ то масштаб виробництва спадний, тобто темпи зрос-тання обсягу продукцГ! нижчГ за темпи зростання обсягу ресурсГв. Якщо сума перевищуе одиницю, маемо зростаючий масштаб: темпи зростання обсягу продукцГ! перевищують темпи зростання обсягу виробничих ресурсГв.

Параметр a у функцп Кобба — Дугласа залежить вГд одиниць ви-мГрювання Y, F та L i також визначаеться ефектившстю виробничого процесу.

Отже, економетрична модель виробничо! функцп дае змогу про-аналГзувати виробничу дГяльшсть, щоб визначити шляхи шдвищен-ня !! ефективностГ ОбгрунтованГсть такого аналГзу цГлковито зале­жить вГд достовГрностГ моделГ та !! адекватностГ вГдповГдному реальному процесу.

Вплив багатьох чинникГв на результативну змшну може бути опи­саний лшшною моделлю

y = a₀ + a %i + a<₂ X2 +... + a_mx_m + u, (3.1) де y — дослвджувана (залежна, пояснювана) змшна, або регресанд; xi, x2,..., x_m незалежнi, пoяcнюючi змiннi, або регресори;

a_m — параметри мoделi; u — випадкова складова регресшно-го рiвняння.

Функцiя (3.1) е лiнiйнoю ввдносно незалежних змiнних i пара-метрiв мoделi, але саме лiнiйнicть за параметрами е бшьш суттевою, оскшьки це пов'язано з методами оцшювання параметрiв. Випадкова складова u е результативною дiею вciх неконтрольованих випадкових фактoрiв, що зумовлюють вiдхилення реальних значень дослвджува-ного показника y вiд аналiтичних (обчислених на пiдcтавi обрано! регресшно! залежнocтi).

Зрoзумiлo, що лшшш зв'язки не вичерпують уах можливих форм залежнocтi мiж показниками. Тому при дослвдженш конкретного еко-нoмiчнoгo явища першочерговим завданням е пошук найточшшо! аналпично! форми опису статистичного зв'язку мiж його показника­ми. Певна форма залежносп повинна мати ввдповвдне екoнoмiчне обгрунтування. Якщо вигляд залежносп встановити важко, то за пер­ше наближення до мoделi все ж обирають лшшну залежшсть.

Звичайним математичним т'дходом до розв'язання задач е виокрем­лення специфхчних клас1в задач або зведення задач до деякого класу i застосування вгдповг'дних метод1в розв'язування. Оскшьки дослвд-ження лшшних функцш мае незаперечш переваги перед шшими кла-сами функцш, то нелшшш функцп намагаються передуим звести до лшшних. Наприклад, степенева фунюця

_y = _ax^a1 _x^a2 _x^am ^y — ^ao^xi ^x2 ... ^xm

пicля логарифмування набирае вигляду

ln y = ln a₀ + a₁ ln x₁ + a₂ ln x₂ +. „ + a_m ln x_m

i пicля замiни ln ao = a е лшшною вiднocнo параметрiв a, a1,..., a_n. Показникова функцiя

y — aoa1 a2 ... am пicля логарифмування набирае вигляду

ln y = ln a₀ + x₁ ln a₁ + x₂ ln a₂ +... + x_m ln a_m

i теля замши ln a_i = b_i, i = 0,1,2,..., m, e лшшною вщноено пара-

метр1в b_i.

Гiпeрболiчна

y = ао + + -f. + .

i квадратична

y = а₀ + а₁ x² + а₂ %2 +

+

функцп замшою змiнниx z_i = — або Zi = x², i = 1, 2,m, зводятьея

^xi

до лiнiйного вигляду:

^y = ^ао + ^ai^zi + ^a2 ^z2 + ^... + ^am^zm •

Зауважимо, що в еучаеному eкономiчному аналiзi iенують залеж-носп, якi не зводятьея до лшшних елементарними перетвореннями, однак ix параметри можна легко розрахувати епещальними епроще-ними методами [13].

Oекiльки найпоширешшими в економетричному модeлюваннi e лшшш функцй, обгрунтування економетричних мeтодiв розгляда-ють, як правило, на базi лiнiйниx моделей.

Отже, предметом наших доелщжень буде узагальнена багатофак-торна лшшна рeгрeеiйна модель (3.1).

Як зазначалоея, узагальнена регреешна модель еправджуетьея для веiel генерально! еукупноетi, а похибка регрееп мае певний закон роз-подiлу•

На практицi мають еправу з вибiрковою моделлю, тобто з такою, яка побудована для деяко! вибiрки. Параметри вибiрковоl модeлi е випадковими величинами, а !х математичне еподiвання дорiвнюe па­раметрам узагальнено! модeлi• Щоб визначити параметри узагальне-но! модeлi, нeобxiдно за вибiркою отримати якомога кращi !х оцiнки, тобто значення, найближчi до парамeтрiв узагальнено! модeлi• З щею метою викориетовують метод найменших квадрапв (МНК).