6.3. Параметризащя модел1

з автокорельованими залишками

Зазначимо, що параметри модел1 з автокорельованими залишка­ми можна оцшити на основ1 чотирьох метод1в: 1)Ейткена (УМНК); 2)перетворення вихщно! шформацп; 3)Кочрена — Оркатта; 4)Дарбша.

Першш два методи дощльно застосовувати тод! коли залишки опи-суються авторегресшною моделлю першого порядку (6.6):

1теращйш методи Кочрена — Оркатта i Дарбша можна застосо-вувати для оцшки параметрiв економетрично! моделi й тод^ коли залишки описуються авторегресшною моделлю вищого порядку:

або

^Щ =p_iU_t-i + ^p2^ut-2 +^vt > ^Щ = Pl^Ut-1 + ^p2^Ut-2 +^p3^Ut-3 + ^Vt •

6.3.1. Метод Ейткена

Як зазначалося, оператор оцiнювання УМНК можна записати так:

a = ( x xi^-1 x )^-1 x 'q^-1y ^(6.9)

a = (X's^-1 x )^-1 x's^-1y ,

(6.И

де Q ¹ — матриця, обернена до дисперсiйно-коварiацiйно'l матрицi за-лишюв Q; S^-1 — матриця, обернена до матриц S = о^^1.

Оскiльки в Q коварiацiя залишюв p^s —> 0 при S > 2, то матри­ця Q ¹ матиме вигляд

1 -p²

(6.11)

1

1		0	0	0 .	. 0^л
	1 + p^2		0	0 .	0
0		1 + p^2	^-p	0 .	0
0	0	0	0	0 .	. 1

На практшц для розрахунку p використовуеться сшвввдношення

n

X UtUt-1

~ t=2

I u²

t=1

(6.12)

або

n

X utut-I

' t=2 П

p = r « — . (6.13)

t=1

6.3.2. Метод Кочрена - Оркатта

Зауваження. Метод Кочрена - Оркатта е перащйним методом на-ближеного пошуку оцшок параметр1в модел1 з автокорельованими за­лишками, який базуеться на МНК.

Крок 1. Довшьно вибрати значення параметра p, наприклад p = ri. Шдставивши його у

nn

X^е2 = X[(yt -pyt-i) - «o(1 -p)-ai(xt -px^i)]², (6.14)

t=2t=2

обчислити i Я⁽⁽¹⁾.

Крок 2. Покласти a = a^⁾ i a\ = a⁽¹⁾; пiдставивши ix у рiвняння (6.14), обчислити p= r₁.

Крок 3. Пiдставити в рiвняння (6.14) значення p= r 2, знайти

a⁽²⁾ i a⁽².

Крок 4. Використати ao = a⁽²⁾ i a\ = a⁽²⁾ для мiнiмiзацil суми квадратiв залшшав (6.14) за невiдомим параметром p = Г3. Процеду­ру повторювати доти, доки наступш значення параметрiв a₀, a i p не вiдрiзнятимуться менш як на задану величину.

Зазначимо, що наведений метод завжди забезпечуе:

• знаходження глобального оптимуму;

• порiвняно добру збiжнiсть.

6.4. Приклад оцшювання параметр1в модел1 з автокорельованими залишками

На основi двох взаемопов'язаних часових рядiв про роздрiбний то-варообiг i доходи населення побудувати модель, що характеризуе за­лежшсть роздрiбного товарообпу вiд доходу.

Розв'язання.

1. 1дентифгкуемо 3MiHHi моделк y_t — роздр!бний товарообгг у пе- рюд t, залежна змшна; x_t — дохщ у перюд t, пояснююча змшна;

^yt =^f (^xt> ^ut)'

де u_t — стохастична складова (залишки).

2. Специфгкуемо модель у лшшшй форм!:

y_t = + a + u_t;

^yt = ^a0 +^a1^xt^;

^ut=^yt ^- Vt-

3. Визначимо a₀, 0г₁ на основ! МНК, припустивши, що залишки некорельоваш:

a = (XX)^-1 X^Ty.

X

27,6 ^

27,4

28,7

29,5

30,9

31,4

31,8

32,2

33,6

34,7

X^rX:

' 10,0 307,8 \ 307,8 9528,36 '

(X^TX )^-1

' 17,55538 -0,5671 ⁴ -0,5671 0,018424

X^Ty

' 290,4 8985,64

_л _(2,313641^{N a} _[0,868303 ^'

Отже, модель мае вигляд

^y_t ^{_ 2,313641 + 0,868303 x}_t^.

4. Знайдемо оцiненi значення y_t на основi отримано! моделi та визначимо залишки u.

Piк	^yt		^ut	^ut^2	^Ut-1	^(ut^-Ut-1^)2	^ut^ut-1
1	25,5	26,2787973	-0,7788	0,606525
2	26,4	26,1051367	0,294863	0,086944	-0,7788	1,152747	-0,22964
3	26,9	27,2339303	-0,33393	0,111509	0,294863	0,395381	-0,09846
4	27,1	27,9285725	-0,82857	0,686532	-0,33393	0,244671	0,276685
5	27,8	29,1441963	-1,3442	1,806864	-0,82857	0,265868	1,113764
6	28,3	29,5783477	-1,27835	1,634173	-1,3442	0,004336	1,71835
7	29,4	29,9256688	-0,52567	0,276328	-1,27835	0,566526	0,671988
8	30,7	30,2729899	0,42701	0,182338	-0,52567	0,907597	-0,22447
9	31,5	31,4886138	0,011386	0,00013	0,42701	0,172743	0,004862
10	33,4	32,4437468	0,956253	0,91442	0,011386	0,892774	0,010888
Сума	287	290,4	-3,4	6,305763	-4,35625	4,602643	3,243969

5. Обчислимо оцшку d-статистики Дарбша — Уотсона:

10

DW

10

X ^ut²

t-1

t_2 ^tt _ 4,602643

6,305763

0,7299.

Задамо a_ 0,05 i при n _ 10 та m _ 1 знайдемо за таблицею d-ста-тистики Дарбша — Уотсона (дод. 4) критичш значення критерiю: DW₁ _ 0,604 — нижня межа; DW₂ _ 1,001 — верхня межа.

Оскшыси DW₁ < DW < DW₂, то з похибкою щонайбшыпе у 5 % ви-падюв можна стверджувати, що автокорелящя залишюв u_t невизна-чена.

Завдання для самостШног роботы: перев1рити автокорелящю за-лишюв модел1 на основ1 критер1ю фон Неймана.

Щоб оцшити параметри модел1 з автокорельованими залишками, використаемо УМНК. Оператор оцшювання

а = (X'Q^-1X)^-1 X'Q^-1Y або а = (X'S^-1X)^-1 X'S^-1Y, де Q -дисперсшно-ковар1ащйна матриця залиппав, яка мае вигляд

1

РР² Р³ 1 Р Р²

,9 \

Р²Р1 Р

I I

S = oUQ.

Р⁹ Р⁸ Р⁷ Р⁶

1

Щоб сформувати q або S, необхщно знати величину р, яка харак­теризуе взаемозв'язок м1ж послщовними членами ряду залишюв.

Припустимо, залишки описуються автокорелящйною моделлю першого порядку (6.6):

^ut =^put-1 +^vt^,

де

£ ^ut^ut-1

' t=2

nm +1 3,243969 10 2 _nnn

£ u²

t=1

— + = + — - 0,77.

ⁿ ₂ n -1 n 6,305763 9 10

Отже,

0,0951 0,1235 0,1604 0,2084

q:

^f 1 0,77

0,77 1 0,5929 0,77

0,5929 0,4565 0,77 0,5929 1 0,77

0,0951 ^л 0,1235

0,1604 1

' 2,4564

1,8914

1,8914 3,9128

.. 5,6E -17 ⁴ .. 0

-4,4657E -17 -3,65E -17 ... 2,4564

6. Розрахуемо:

Xt^T Q^-1

' 0,565 0,1041 ... 0,5649⁴ 15,9715 -0,1246 ... 21,685

X_t^TQ^-1X_t

2,171 67,163

67,157 2110,708

63,007 ⁴

1976,647

( Xt^T Q^-1Xt )^-1

^ 29,1312 -0,9269 ⁴ -0,9269 0,0299

^3,20236 ⁴ 0,834594

^{Отже, y}_t ^{_ 3,20236 + 0,834594x}_t^.

7. Знайдемо оцiненi значення y_t на основi побудовано! моделi та визначимо ii залишки v.

Piк	^yt		^vt	vt^2	^vt-1	^(vt^- ^vt-1^)2	^vt^vt-1
1	25,5	26,23716	-0,73716	0,54341	—	—	—
2	26,4	26,07024	0,329755	0,108739	-0,73716	1,13831587	-0,24308
3	27,9	27,15522	0,744783	0,554701	0,329755	0,17224772	0,245596
4	28,1	27,82289	0,277107	0,076788	0,744783	0,21872034	0,206385
5	28,8	28,99132	-0,19132	0,036605	0,277107	0,2194286	-0,05302
6	29,3	29,40862	-0,10862	0,011799	-0,19132	0,00683976	0,020782
7	29,8	29,74246	0,05754	0,003311	-0,10862	0,0276099	-0,00625
8	30,7	30,0763	0,623702	0,389005	0,05754	0,32053971	0,035888
9	31,5	31,24473	0,25527	0,065163	0,623702	0,13574218	0,159213
10	32,4	32,16278	0,237217	0,056272	0,25527	0,00032594	0,060554
Сума	290,4	288,9117	1,488264	1,845793	1,251048	2,23977001	0,426067

8. Розрахуемо d-статистику Дарбша — Уотсона:

10

DW = ^£ ' = ^2,23977001 - 1,2134.

¹⁰ 2 1,845793

t-1

Пор1вняемо d-статистику Дарбша — Уотсона з критичними зна­ченнями при а= 0,05, n = 10 та m = 1

Оскшьки DW2 < DW < 4-DW2, робимо висновок, що ми усунули автокорелящю залишюв. А це в свою чергу означае, що дотримуеть-ся гшотеза про те, що залишки описуються авторегресшною схемою першого порядку. Якщо залишки описуються авторегресшною схе­мою вищого порядку, дощльно оцшити параметри модел1 методом Кочрена — Оркатта або Дарбша.

9. Прогноз: визначимо прогнозний р1вень товарообггу, якщо дохщ становитиме x_n+1 = 35. Сшввщношення, що визначае прогнозний

р1вень залежно! змшно! мае вигляд: y_n+\ = x_n+1a. Отже,

y_n+l = 3,20236 + 0,834594x_t=3,20236 +0,834594-55 = 49,105085.

Це означае, що прогнозний р1вень роздр1бного товарообпу на (п+1)-й рпс становить 49,105085.