Вправи та завдання

1. На баз! n = 11 статистичних даних певного рег!ону досл!дити мультикол!неарн!сть м!ж факторами.

Роздт 5. ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНЮТЬ

5.1. Виявлення гетероскедастичност та и природа

Розглянемо класичну лшшну багатофакторну модель

y = a₀ + a₁x₁ + a₂ x₂ +... + a_mx_m + u. (5.1)

Як завжди,

' ^y1	Л	, a =			, u =	' u1
	^J			^J		^n	^J

X = {1, х_ц), i = 1, n, j = 1, m. (5.2)

Для застосування МНК при оцшюванш параметрйв модели раш-ше було сформульовано основш припущення, як на практищ можуть порушуватись.

У попередньому роздип розглядався особливий випадок багатофак-торного регресшного анализу, пов'язаний з проблемою мультиколше-арность Тепер розглянемо шший особливий випадок, що стосуеться сталосп дисперсн кожно! випадково! величини u_{ (гомоскедастичшсть залшшав).

Означения 5.1. Якщо дисперсгя залишкгв стала для кожного спо-стереження, то це явище називаеться гомоскедастичтстю:

Bu_i = M (и_{ - Mu_{ )² = = const, i = 1, n. (5.3)

Якщо це припущення не задовольняеться в якомусь окремому випадку, то маемо гетероскедастичшсть (помилки u_{ некорельоваш, але мають несталу дисперсию).

Означения 5.2. Якщо дисперсгя залишкгв змтюеться для кожного спостереження або групи спостережень, то це явище називаеться ге-тероскедастичнгстю:

Bu_i = M (u - Mu_i )² = о²_и. Ф const, i = 1, n. (5.4)

Розглянемо питання про дощльшсть припущення (5.3) i про те, що вiдбуваеться, якщо це припущення не задовольняеться.

Насамперед зауважимо, що сутнгсть припущення про гомоскедас-тичнгсть полягае в тому, що варгащя кожног випадковог складово! и_{ на-вколо гг математичного сподгеання не залежить вгд 'значення факторгв х:

Форма гетероскедастичностг залежить ввд знакiв i значень ко-ефiцiентiв у залежносп

°щ = ^{f (x}1^{, x}p_t ^).

Oскiльки u_{ — не спостережувана випадкова величина, ми не знае-мо справжньо! форми гетероскедастичностi.

У прикладних дослгдженнях, як правило, використовують зручне припущення, а саме в разi просто! лшшно! регресГ! гетероскедас-тичнiсть мае форму

о% = k²x²

(k = const, яку потрiбно оцiнити).

Насл1дки порушення припущення про гомоскедастичшсть:

1) неможливо знайти середньоквадратичне вщхилення пара-

2

метрш о_а. регресi!, а отже, неможливо оцшити значупцсть пара-метрiв;

2. неможливо побудувати довiрчий iнтервал для прогнозних зна-^{чень у}пр^;

3. отримаш за МНК оцiнки параметрiв регресГ! не е ефективни-ми (не мають найменшо! дисперсГ!).

Зазначимо, що якщо незважаючи на гетероскедастичшсть ми ви-користовуватимемо звичайнi процедури перевiрки гiпотез, то вис­новки можуть бути неправильними. Зрозум!ло, гетероскедас-тичн!сть е суттевою проблемою, а тому потр!бно вм!ти з'ясовувати !! наявн!сть.

5.2. Тестування наявност гетероскедастичност

Як ! в раз! мультикол!неарност!, единих правил виявлення гете-роскедастичност! немае, а е р!зноман!тн! тести (критер!!): критер!й ц, параметричний та непараметричний тести Гольдфельда — Квандта, тест Глейсера, тест рангово! кореляц!! Сп!рмана та !н. Розглянемо лише деяк! з них.

Зауважимо, що !нколи в ход! проведення економетричних досл!д-жень гетероскедастичн!сть вгадуеться !нту!тивно або висуваеться як абсолютне припущення:

°²_i = ^{f (x}V ^x2^{, x}p_t ^).

Наприклад, вивчаючи бюджет с!м'!, можна пом!тити, що диспер-с!я залишк!в зростае в!дпов!дно до зростання доходу. Отже, перший крок до виявлення гетероскедастичност! - глибокий апалхз змгсту досл!джувано! проблемы.

Кр!м того, !снуе граф!чний метод тестування наявност! гетероскеда-стичност!, що Грунтуеться на встановленн! наявност! систематичного зв'язку квадрат!в залишк!в регрес!йно! модел!, побудовано! на основ! припущення про в!дсутн!сть гетероскедастичност! (графгчпий апаипз).