8.1. Поняття про системи одночасних р1внянь

Багато економ1чних взаемозв'язкйв допускають моделювання од­ним рйшянням. Однак деяю економ1чн1 процеси моделюються не од­ним, а кшькома рйшяннями. Сшввщношення м1ж економ1чними по­казниками можуть мати стохастичний i детермшований характер. Стохастичш зв'язки мiж змiнними описуються регресшними рйшян-нями, а детермшоваш визначаються тотожностями й не мютять не-вiдомих параметрiв.

У системах рiвнянь через наявнiсть прямих i зворотних зв'язкiв залежна змiнна одного рйшяння може бути незалежною змшною в iнших рiвняннях . Змшш, що стоять у лйпй частиш рiвнянь, назива­ються ендогенними, причому 1х кiлькiсть не перевищуе загально! кiлькостi всiх рiвнянь. Iншi змшш, що входять до модели називаються екзогенними.

Наприклад, повна кейнаанська модель доходу складаеться з двох сшввщношень:

C_t = ^ao + aj_t + ^щ, ^(8.1)

Y = Ct + Zt, ^(8.2)

де C_t — витрати на споживання; Y_t — дохiд; a₀, ai — невiдомi па­раметри; щ — залишки моделi; Z_t — неспоживчi витрати (швес-тицп).

Перше спiввiдношення — це регресшна функцiя споживання, а друге - тотожшсть доходу. Величина доходу Y_t для першого рiвнян-ня е незалежною змшною, для другого — залежною, а величина C_t —

навпаки: у першому рйшянш вона е залежною змшною, у другому — незалежною. Для системи загалом змшш Y_t i C_t е ендогенними, а змш-на Z_t — екзогенною.

Означения 8.1. Для систем одночасних рiвнянь усi змiннi, що можуть бути визначеш iз системи рiвнянь, називаються ендогенни­ми, причому 1х кiлькiсть не перевищуе загально! кiлькостi рiвнянь.

Означения 8.2. Для систем одночасних рiвнянь усi змшш, як за-даються за межами моделi або е заздалегiдь вщомими, називаються вiдповiдно екзогенними або предетермшованими.

У розглянутiй кейнсiанськiй моделi доходу величини C_t i Y_t е ен­догенними змшними, що визначаються всередиш модель Змшна Z_t задаеться (визначаеться) поза моделлю, отже, вона е екзогенною.

1з першого сшввщношення ще! моделi видно, що змшна C_t за­лежить вiд доходу Y_t i вiд залишкiв u_t, а з другого сшввщношення очевидна залежшсть доходу Y_t вщ споживчих C_t i неспоживчих витрат Z_t. Неважко помiтити, що общда змiннi C_t i Y_t можуть бути вираженi через Z_t i залишки u_t.

8.2. Приклади систем одночасних р1внянь

1. Модель "попит — пропозищя".

Одна з найпростпних систем одночасних рйшянь, що використо-вуеться при моделюванш попиту та пропозицп в ринковш економiцi, мае вигляд

Функцiя попиту q_t^D =а₀ + а₁ p_t + u_t1, а₁ < 0,

Функцiя пропозицп • q_t^S = Р₀ + в₁ p_t + u_t2, P₁ < 0,

DS

Функцiя рiвноваги q_t = q_t •

Припускаеться, що обсяг попиту q^D i обсяг пропозицп q^S пев-ного товару в момент часу t е лшшними регресiйними функцiями вщ цiни цього товару p_t у цей самий момент часу. Останне сшввщношен­ня в цш моделi — функщя рйшоваги — е тотожшстю.

Наявнiсть випадкових вiдхилень u_ti i u_t2 у данiй моделi пов'яза-на передусiм з вiдсутнiстю ряду важливих пояснюючих змшних (при-бутку споживачiв, цiн на супутнi товари, цш на ресурси, податкiв тощо).

Змша одного з цих факторiв може вщбитися на моделi. Наприк­лад, зростання прибутку споживачiв може зсунути лгшю попиту вго-ру (рис. 8.1). Це призведе до змши рiвноважно'i цiни та рiвноважно'i кшькосп.

Модель "попит — пропозищя" можна вдосконалити. Наприклад, якщо до функци попиту додати прибуток споживачiв y_t, дютанемо систему

Функцiя попиту Функцiя пропозицп Функцiя рiвноваги

q^f =ао + «iPt + ^а2Vt + ^utv а< О,

2. Модель р1вноваги на ринку Toeapie (модель IS).

Однiею з можливих нестохастичних форм моделi IS ^вноваги на ринку товарiв) е така модель:

Функщя споживання Функщя податюв Функщя швестищй Визначення Державнi витрати Макроекономiчна тотожнiсть

ро + ^pi^yt^{, а}о + ^ai^yt^,

У (^d )_t = ^yt + ^Tt,

gt = g,

^yt = ^ct + it + ^gt.

(8.3) (8.4) (8.5)

(8.6)

(8.7)

(8.8)

де c_t, y_t, T_t, i_t, g_t, r_t, y (d )_t — вгдповщно значення в момент часу t спо-

живання (c_t), нацiонального доходу (y_t), обсягу податюв (x_t), бажа-ного обсягу чистих швестищй (i_t), процентно'1 ставки (r_t), розмнце-ного прибутку (y(d)_t), державних витрат (g_t), у даному разi ^gt = ^gt = ^const.

Щоб отримати в явному виглядд спiввiдношення мiж процентною ставкою й рiвнем прибутку, при якому ринок товарiв перебувае у ста-нi рiвноваги, необхiдно у (8.3) шдставити (8.4) i (8.6). Шдставивши отримане спiввiдношення, а також (8.5) i (8.7) у (8.8), дютанемо

yt =%0 +ЩП, ^(8.9)

де =^в0 + ^аА +У⁰ + ё П1 = ¹ .

⁰ 1 -р1(1 -04) ¹ 1 - р1(1 -а1)