3.2.3. Оцшювання за методом найменших квадралв та штерпретащя результалв

Нехай ввдомо n спостережень незалежних змiнних x^, Х'₂,x_m i n спостережень залежно! змшно! y. Необхвдно за МНК oцiнити пара­метри <a>, ^а1, ^а2,^ат лшшно! мoделi (3.1).

Якщо виконуються зазначеш ранiше передумови, то оцшки пара-метрiв можна отримати за таким алгоритмом.

1. Незалежш змшш записати у виглядi матрицi

X ={^xo^{, Х}1^{, x}2^{, Х}т\^,

де xo — вектор, складений з n одиниць; x_b x₂₂,x_m — вектори спо­стережень незалежних змшних.

2. Обчислити матрицю X^TX i вектор X^Ty , де X^T — транспоно- вана матриця X, y — вектор спостережень залежно! змшно!.

Зауваження. Транспонована матриця утворюеться з вшадно! пе-ретворенням рядкiв у cтoвпцi•

3. Обчислити обернену матрицю (X^TX) ¹.

Зауваження. Матриця A^- називаеться оберненою до A, якщо ви-

_{1 1}

конуеться сшвввдношення A A = AA = E, де E — одинична мат-риця.

4. Обчислити параметри мoделi за формулою

а = (X ^TX X ^Ty), (3.2)

де а — вектор параметрiв, а = (а₀, а₁, а₂,а_т)^T.

Зауваження. Для визначення оцшок параметрiв можна скориста-тися будь-яким методом розв'язання системи лшшних рiвнянь вiднocнo вектора невiдoмих змшних:

(X ^TX )а = X ^Ty.

Приклад [3]. Шдприемство, що складаеться з багатьох фшш, дос-лiджуе залежнicть свого рiчнoгo тoварooбiгу y (млн у. о.) ввд торго-во'1 площд сво!х фiлiй x1 (тис. кв. м) i середньоденно! iнтенcивнocтi потоку покупщв (тис. чол./день). Прocтoрoвi даш за фiлiями наве­дено в табл. 3.1.

Для ввдображення залежноет мiж цими показниками обирають лшшну рeгрeеiйну модель

y = ао + а1 x-1 + а2 Х2 + u •

Таблиця 3.1

Номер	Значення y	Значення x1	Значення x2
фпш	(y)	^(x1i^)	^(x2i^)
1	2,93	0,31	10,24
2	5,27	0,98	7,15
3	6,85	1,21	10,81
4	7,01	1,29	9,89
5	7,02	1,12	13,72
6	8,35	1,49	13,92
7	4,33	0,78	8,54
8	5,77	0,94	12,36
9	7,68	1,29	12,27
10	3,16	0,48	11,01
11	1,52	0,24	8,25
12	3,15	0,55	9,31

У результат оцiнювання парамeтрiв за методом найменших квад-ратiв отримано таю оцшки: а₀ =-0,832; аг₁ = 4,743; аг₂ = 0,175.

Оцшки штерпретуютьея таким чином. Коефщдент а1 = 4,743 озна-чае, що за шших нeзмiнниx умов змшна Х1 збiльшитьея (зменшить-ея) на одиницю, залежна змшна y збшыпитьея (зменшитьея) вцщоввд-но на 4,743 одиниць Зокрема, у наведеному прикладi збiльшeння (зменшення) торгово! площи на 1 тие. кв. м збшьшить (зменшить) рiчний товарообiг на 4,743 млн у. о. Аналопчно, збшьшення (змен­шення) еередньоденно! штенеивноеп покупцiв на 1 тие. чол./день збшьшить (зменшить) рiчний товарообiг на 0,175 млн у. о.

3.3. Вериф^а^я модeлi 3.3.1. Показники якоcтi модeлi

У клаеичному рeгрeеiйному аналiзi вважаетьея, що функцiя рег-рееп вiдома до оцiнювання парамeтрiв, тобто регреешна модель епе-цифiкована правильно. Однак в емшричних eкономiчниx i еоцiаль­них дослвдженнях не завжди ввдомо, скшыси факторйв мае бути вве­дено в модель i яка форма залежносп краще описуе реальш зв'яз­ки. Щоб забезпечити найбiльш адекватне вщтворення дослщжува-ного явища чи процесу, необхiдно вибрати регресiйну функщю серед багатьох варiантiв, використовуючи спещальш критерп якостi мо-делi.

Для перевiрки коректностi побудови моделi визначають насампе-ред:

• стандартну похибку рГвняння;

• коефiцiент детермшацп;

• коефнцент множинно! кореляцп;

• стандартну похибку параметрiв.

Зауважимо, що зазначеш показники отримують на nidcmaei конк-ретних статистичних даних, тобто кожна з цих характеристик б ви-бхрковою характеристикою i тому маб бути перевхрена на значущсть за допомогою спецшльних статистичних критерив.

Стандартна похибка рiвняння (точкова ощ'нка емшрично! дис-персп залиипав) характеризуе абсолютну величину розкиду випад-ково! складово! ргвняння i обчислюеться за формулою

ⁿi=l

Поправка на число ступешв свободи дае незмiщену оцшку дис-персп залишкiв:

л n

n - m -1 _{=i

Зрозумшо, що перевага вiддаеться моделям, у яких стандартна похибка ргвняння менша поргвняно з шшими моделями. Однак така оцiнка якосп мае суттевий недолпс: через те що для не! не визначено верхню межу, поргвняння ргзних моделей за цим критерiем досить проблематичне.

Коефщбнт детермтаци R² показуе, яка частина руху залежно! змшно! описуеться даним регресшним ргвнянням, i обчислюеться за формулою

R² = 1 -

1 n

де S². = — У (y_; - y)²; y — середне значения залежно! зм1нно!, ⁿ i=1

1 n

^y = - У ^yi •

ⁿi=1

На значення коефппента детерм1нац1! впливае к1льк1сть фактор1в, що враховано в модель Уведення в модель кожно! ново! зм1нно! зб1льшуе значення коефнцента детермшацй. Тому щоб запобпти не-виправданому розширенню модел1 й мати змогу пор1внювати модел1 з р1зною к1льк1стю фактор1в, уводять спец1альний оцшений ко-еф1ц1ент детерм1нацй

^{R2 = 1 -4 ■}

2 2

де о„ — незмпцена оц1нка дисперсп залишк1в; о _y — незм1щена оц1н-

1 n

ка дисперс1! залежно! зм1нно!, оУ = У (y_i - y)²

^{n -1} i=1

Неважко пом1тити, що обидва коеф1ц1енти пов'язан1 такою залеж-н1стю.

R² = 1 -(1 -R²) ^{n -1} •

n - m -1

Обчислений у такий спос1б коеф1ц1ент детерм1нац1! називаеться скоригованим за Тейлом 1 позначаеться R_T. Кр1м того застосовують також коригування за Амем1ею, яке виконуеться за формулою

R² = 1 - (1 - R²) .

n-m-1

Обчислений у такий спос1б коеф1ц1ент детерм1нац1! називаеться скоригованим за Амем1ею 1 позначаеться •

Обидва коефнценти RT 1 R| враховують той факт, що уведення в модель кожного нового регресора зменшуе число ступен1в свободи. А для застосування статистичних критер1!в перев1рки якост1 отрима-них результат1в ступен1в свободи бажано мати якомога б1льше.

Очевидно, для кожного RT 1 виконуеться нер1вн1сть R² < R, тобто з1 зб1льшенням к1лькост1 фактор1в модел1 оц1нен1 коеф1ц1енти детермшацп зростають повшьшше, шж R². КрГм того, якщо R² = 1, то i R² = 1. Якщо R² прямуе до нуля, оцшеш коефiцiенти стають вiд'емними. Така властивiсть скоригованих коефiцiентiв детермiнацi'i дае змогу бшын об'ективно оцiнювати яюсть моделей з ргзною

кшьюстю факторiв, причому в разi застосування коефщента RA (скоригованого за Aмемiею) перевага однозначно вщдаеться рГвнян-ню з меншою кшьюстю регресорiв.

Зауваження. Коефппент детермшацп мае ще два рГвнощ'нних оз-начення. За першим, коефщдент детермшацп R дорiвнюе квадрату емшричного коефiцiента кореляцп мГж двома рядами спостережень (теоретичними значеннями регресанда y₍ та його розрахунковими значеннями y_i, i = 1, 2,n) i обчислюеться за формулою

_R2 = ⁽Е ^(yi^{- y)(y - y))2}

Е ^(уг ^{- y)} Е ^(yi ^{- y)}

За другим, коефщдент детермшацп R² дорГвнюе вщношенню суми квадрапв вщхилень розрахункових значень регресанда вщ його середнього значення до суми квадрапв вщхилень спостережених зна­чень регресанда вщ того самого середнього значення:

_R2

Е (У - У)² Е (Уг - У)²

В обох випадках сума Е обчислюеться за всгма спостереження-ми i = 1, 2,n.

Коеф^бнт множинног кореляци R (R) визначае мГру зв'язку за-лежно! змшно! з уома незалежними факторами i е коренем квадрат-ним з вщповщного коефщдента детермшацп: R = л/R² ( R = VR² ).

Стандартна похибка рГвняння, коефщент детермшацп та множин-но! кореляцп е характеристиками, за якими перевгряеться пра-вильшсть вибору незалежних змшних моделГ. При порГвнянш регре-сшних рГвнянь з рГзною кшьюстю незалежних змшних вирппальними критерГями е стандартна похибка рГвняння (найменша) та коефщдент детермшацп (якомога ближчий до одинищ i з бгльшим числом сту-пешв свободи).