6.2. Тестування наявност автокореляцм

Тестування наявност! автокореляц!!, як правило, зд!йснюеться за d-тестом Дарб!на — Уотсона, хоча !снують й !нш! не менш в!дом! тес­ти: критер!й фон Неймана, нецикл!чний коеф!ц!ент автокореляц!!, цикл!чний коеф!ц!ент автокореляц!!.

6.2.1. Критерш Дарбша — Уотсона

(складаеться з к!лькох етап!в ! включае зони невизначеност!) Крок 1. Розраховуеться значення d-статистики за формулою

n 2

i(^u_t ^{- u}t-1 )

DW = d = ^t=² . (6.7)

_{i u}²

t=1

Зауваження. Доведено, що значення d-статистики Дарб!на — Уот­сона перебувае в межах 0 < DW < 4.

Крок 2. Задаемо р!вень значущост! а. За таблицею Дарб!на — Уот­сона при заданому р!вн! значущост! а, к!лькост! фактор!в m ! к!лькост! спостережень n знаходимо два значення DW1 ! :

• Якщо 0< DW< DWi, то наявна додатна автокорелящя.

• Якщо DW₁ < DW< DW₂ або 4 - DW₂ < DW< 4 -DW_V ми не може-мо зробити висновки аш про наявшсть, аш про вщсутшсть ав-токореляцп (DWпотрапляe в зону невизначеносп).

• Якщо 4 -DWj < DW < 4, маемо вщ'емну автокорелящю.

• Якщо DW₂ < DW< 4-DW₂, то автокорелящя вщсутня. Граф1чне зображення розподшу шюструе рис. 6.1.

Додатна Автокорелящя вщсутня Вщ'емна

DW₂ 2 A-DW₂ 4-DW_i 4

Зона невизначеносп Зона невизначеносп

Рис. 6.1. Зони автокореляцшного зв'язку за критер1ем Дарбша — Уотсона

6.2.2. Критерш фон Неймана

Розраховуеться

^Q = Офакт = ^ • ^(6.8)

t=1

n

Звщси Q = DW . Отже, при n Q = DW.

n -1

Фактичне значення критерпо фон Неймана порйвнюеться з таб­личним при вибраному р1вш значущост a i задашй кшькост спо-

^{стереЖенЬ:} Йтабл = ^Q(a,n) ■

Якщо 0ф_акт < О_табл, то iснуе додатна автокореляцiя•

6.2.3. Коефщ1енти автокореляцм та IX застосування

Окрiм статистик Дарбiна — Уотсона та Неймана, для перевiрки ав­токореляцп застосовують також нециклiчний коефпцент автокоре­ляцп r*, який вгдображае ступшь взаемозв'язку ряд1в щ, щ,u_n-1 i обчислюеться за формулою

n - 1

r *

Z U²

t=2

n 1

Z ^ut^ut-1 7

t=2 ^{n - 1}

1

1

²

Z^ut

Z ^ut

Z^ut²-1

t=2

n-1

/ n \²

Z ^ut-1

t=2 J

1

Kоeфiцiент r* може набувати значень в iнтeрвалi (-1,1). Його вiд'емнi значення свгдчать про вiд'емну автокорeляцiю залишкiв, а до-датнi - про додатну автокорелящю. Значення, що лежать в деякш кри-тичшй областi поблизу нуля, шдтверджують нульову гiпотeзу про вгдсутшсть автокореляцп в залишках. Оскгльки ймовГршсний розпо-дгл г* встановити важко, то на практищ замють r* обчислюють цик-л1чний коефщент автокореляцп r°. Загалом, якщо часовий ряд мае циюпчний характер, тобто припускаеться, що шсля значення u_T загаль-ний характер змгни члешв ряду повторюеться, то автокорeляцiю виз­начають за допомогою коефпцента r°, запровадженого Андерсоном.

У цьому разi автокорелящя визначаеться мГж послщовностями, зсу-

нутими на перюд т:

Якщо перюд т = 1, то маемо коефщент циклГчно! автокореляцп першого порядку, який вгдбивае гнтенсившсть взаемозв'язку мГж по-слгдовностями

та

Для досить довгих рядГв вплив циклГчних члешв стае незначним, тому ймовГршсний розподгл коефпцента r* наближаеться до ймовГр-шсного розподглу коефщента циклГчно! автокореляцп r°, який об-числюеться за формулою

_£ ^u_t^u_t-i+^u_n^u_i ^- _{- £} ^u_t

_r о = t=i_

, t=1

\²

t=1

Якщо останнш член ряду дор1внюе першому, тобто u₁ = u_n, то нецикл1чний коефнцент автокореляцп дор1внюе цикл1чному. Очевид­но, якщо залишки не мютять тренда, то припущення про р1вшсть u- = u_n недалеке вгд дшсносп й цикл1чний коефщент автокореляцп близький до нецикл1чного. Кр1м того, припускаючи, що середня за-лиштав дор1внюе нулю, тобто u = 0, а отже,

nn

£^ut " £^ut-i " ⁰

t=2 t=2

отримуемо приблизну формулу для обчислення цшопчного коефщ-ента автокореляцп:

n

£ ^ut^ut-i

r =

t=2

£ u²

t=1

причому r 6 (-1,1). параметр1в модели

ванн!