4.3. Алгоритм Фаррара — Глобера

Hайповнiше дослщити мультиколiнеарнiсть дае змогу алгоритм Фаррара — Глобера, який застосовуе три види статистичних критерпв для виявлення мультиколшеарностг

• усього масиву незалежних змшних (критерий х²);

• кожно! незалежно! змiнноl з усiма шшими (f-критерiй);

• кожно! пари незалежних змшних (t-критерш). Порiвнявши цi критерп з !х критичними значеннями, можна зро-

бити конкретнi висновки щодо наявносп чи вiдсутностi мультиколi-неарносп незалежних змiнних. Опишемо цей алгоритм. Складемо покроковий алгоритм Фаррара — Глобера.

1-й крок:

нормалiзувати змшш x_v х₂, x_m економетрично! моделi, обчис-

ливши

де n — кглыасть спостережень (i = 1, 2, n); m — кглыасть незалеж­них змiнних (j = 1, m); Xj — середня арифметична j-i незалежно!

Xj

2 • • ■•

змшно!; а • — дисперсш j-i незалежно! змiнноl.

2-й крок:

на основ1 матриц! X*, елементами яко! е нормализован! незалежн! змйнн! x*, обчислити корелящйну матрицю (матрицю момент!в нор­мализовано! системи нормальних р!внянь):

'12

'1m

R = X^trX

'21

'2 m

^rm1 ^rm2

де X ^tr — транспонована матриця X* (елементи матриц! R характе­ризуюсь щ!льн!сть зв'язку одн!е! незалежно! зм!нно! з !ншою);

^rij = r_XiXj — парн! коеф!ц!енти кореляц!!.

Однак на основ! ц!е! залежност! не можна стверджувати, що от-риманий зв'язок е явищем мультикол!неарност!. Якщо дгагональн! елементи матриц! R не дор!внюють одиниц!, то на д!агонал! ц!е! мат­риц! ми проставляемо одиниц!, а до решти елемент!в додаемо р!зни-цю м!ж одиницею й значенням д!агонального елемента.

3-й крок:

визначити |R| — визначник кореляц!йно! матриц! R; обчислити критер!й X²:

n -1 — (2m + 5)

ln | R |

₂1 пор!вняти значення X з табличним при — m (m - 1) ступенях сво-

₂₂

боди ! р!вн! значущост! а (якщо ^X > ^х_таб_л, зм!нних !снуе мультикол!неарн!сть).

в! незалежних

4-й крок:

визначити матрицю похибок:

41 42

4 m

tr *\-1

C = R^-1 = (X ^trX )

21 22

^b2m

, ^cm1 ^cm2

5-й крок:

розрахувати F-критер!!:

⁽«kk ^{- 1)(n - m)}

(m -1)

де c_kk — д!агональн! елементи матриц! С;

значення критерпв F_k пор!вняти з табличним при (n-m) ! (m-1) ступенях свободи й р!вн! значущост! а (якщо F_k > F_тaб_л, то в!дпов!дна k-та незалежна зм!нна мультикол!неарна з !ншими);

розрахувати коефйценти детерм!нац!! для кожно! зм!нно!:

Rk² = 1 -¹ •

6-й крок:

знайти частков! коеф!ц!енти кореляцп, як! характеризують щ!льн!сть зв'язку м!ж двома зм!нними за умови, що !нш! зм!нн! %ц, х_й, , x_lm не впливають на цей зв'язок (!снування парно! мульти-кол!неарност!):

де — елементи матриц! С, що розм!щен! в k-му рядку та j-му стовпц!, k = 1, 2, m; j = 1, 2, m; c_kk ! j — д!агональн! елементи матриц! С.

Однак якщо пор!вняти конкретн! числов! значення часткових ! парних коеф!ц!ент!в, то можна побачити, що перш! значно менш!, н!ж останн!. Тому на основ! знання парних коеф!ц!ент!в кореляц!! висновок про мультиколшеаршсть робити неможливо. Для цього не-обх!дно виконати 7-й крок.

7-й крок:

розрахувати t-критер!!:

^4j=^l'^ij|* 7-rij^;

значення критер!!в t_k- пор!вняти з табличними при (m-n) ступе­нях свободи та р!вн! значущост! а; якщо t_k- > t_тaб_л, то м!ж незалеж­ними зм!нними х, ! ж, !снуе мультикол!неарн!сть.

Висновки:

1. М!ж незалежними зм!нними може !снувати л!н!йна залежн!сть, однак вона може й не бути явищем мультикол!неарност! зм!нних, а тому не впливатиме на к!льк!сн! оц!нки параметр!в модел!, розра-хованих за допомогою звичайного МНК.

2. Якщо F_k > F б_л, то х_к залежить в!д ус!х !нших незалежних зм!нних ! треба вир!шити питання про !! виключення з перел!ку зм!нних.

3. Якщо tj > то х_к ! Xj щ!льно пов'язан! м!ж собою.

4. Анал!зуючи F- i t-критер!!, робимо висновок, яку з! зм!нних треба виключити з модел! (зрозум!ло, якщо це можливо з економ!ко-лог!ко-теоретичних м!ркувань).

5. Якщо виконавши пп. 2-4, ми не досягли мети, тобто не усуну-ли мультикол!неарн!сть, оц!нку параметр!в модел! сл!д обчислювати за допомогою !ншого методу, наприклад методу головних компонент!в (або одн!е! з його модиф!кац!й).