5.3. Трансформування початковоУ модел1

Розглянемо питання усунення гетероскедaстичностi трансформу-ванням початково! модель

Припустимо, що за статистичними даними побудовано початко-ву регресiйну модель

У — / (x, u)

i на бaзi будь-якого тесту встановлено наявшсть гетероскедастичносп:

^Du, * const.

Для усунення гетероскедастичносп початкову модель змшюють (трансформують) так, щоб помилки мали сталу диспераю:

^Du, ^—(i_t ^{— const}-

Tрaнсформaцiя моделi зводиться до змши початково! форми мо-делi методом, який залежить вгд специфiчно! форми гетероскедастич­носп, тобто вгд форми залежносп м.ж дисперсiями зaлишкiв i зна­ченнями незалежних змшних:

^—Ф^{( x}i⁾- (5.5)

Розглянемо можлив. випадки трансформацп моделi на приклaдi просто! лшшно! регресп. Нехай початкова модель

y — а₀ + a_i x + u, (5.6)

де компоненти випадкового вектора u гетероскедастичш, але ввдповь дають шшим класичним припущенням лшшно! регресп Розглянемо таю випадки.

Випадок 1. Припустимо, що гетероскедастичшсть мае форму

с²_щ = Mu² = k² x², (5.7)

де k = const (тобто дисперая залишюв зростае пропорщйно до x²). 1з припущення (5.7) випливае

k² =Ou²/x².

Це означае, що трансформащя модел1 полягае в ддленш початко-

во! модел1 на sjx² = x.

Отже, трансформована модель мае вигляд

Ml = + о₁ + ^ul. (5.8)

Зазначимо, що параметр при змшшй 1/x_i у трансформовашй мо-дел1 е перетином (вшьним членом) початково! модели тод1 як пере-тин трансформовано! модел1 е нахилом початково!.

Розглянемо

M

^xi

²

J_ Mu² = ^ k²

x_ix_i

Отже, нова випадкова величина модел1 (5.8) мае скшченну сталу диспераю k². Таким чином, модель (5.8) мае гомоскедастичну випад-кову змшну що означае правом1ршсть застосування класичного МНК для розрахунку невщомих параметр1в трансформовано! модел1 (5.8).

Випадок 2. Припустимо, що гетероскедастичшсть мае форму

а²_щ = Mu² = k² x, (5.9)

де k = const (тобто дисперая залишюв зростае пропорщйно до х). 1з припущення (5.8) випливае

^{k 2} =<^j2u₁/^x •

Це означае, що допустима трансформащя полягае в дшенш почат­ково! моделi на Vx.

Отже, трансформована модель мае вигляд

У — £о + _а* +JL. (5.i0)

VXVX VX VX

Розглянемо

2

M

:— M (u )² — — k² _Xi — k².

u

Отже, для трансформовано! моделi випадкова величина ~j= го-

x

москедастична зГ сталою дисперсiею k² . Це означае, що, виконавши зазначене вище перетворення, ми виключили гетероскедастичшсть. Випадок 3. Припустимо, що гетероскедастичшсть мае форму

о²^ — Mu² — k²(&0 + b )² (5.ii)

(дисперсiя зростае пропорцшно до квадрата лшшно! функцп вгд x). 1з припущення (5.ii) випливае

k² —Ou_; 7(b) +bi x )². (5.i2)

Допустима трaнсформaцiя полягае в дiленнi початково! моделi на

V^(b0 + ^bi^x,^{)2 — (b}0 + ^bi^x,^). Отже, трансформована модель мае вигляд

7 т— — г— + 7— + т т— • (5.i3)

Розглянемо

M

²

u, 1 i _Mu 2 _— ^k (^b0 + ^bi^xi

^b0 + ^bi^x, j + iix, )² ' + bx, )²

Отже, нова випадкова величина -- е гомоскедастичною "з

»о + ^b1 ^xi

сталою дисперс"ею k².

Загальний випадок. Припустимо, що гетероскедастичшсть мае форму

о² = Mu² = k²9( xi), (5.14)

де k = const, ф(x_t) — функщя в"д x_i.

Трансформация початково! модел1 зд1йснюеться д1ленням !! на V<P^(xi⁾ •

Зазначимо, що така трансформац1я екв1валентна застосуванню зваженого методу найменших квадрат"в (ЗМНК), який е особливим випадком узагальненого методу найменших квадрат"в (УМНК). Суть ЗМНК полягае в м"шм"зацй зважено! суми квадратичних в"дхилень:

J,Ol_ = ^ — (^{y -} «о - 01^xi )^{2 —} mi^{n. (5.15)}

i=1 ^0ui i=1 ^0ui

Зазначимо також, що ЗМНК, застосований до початково! модел", дае так" сам" результати, що й МНК, застосований до трансформова-но! модел".

Твердження. Оц"нки трансформовано! модел" мають меншу дис-перс"ю (ефективн"ш"), н"ж оц"нки, отриман" "з застосуванням МНК до початково! модел".

Нарешт", потр"бно пам'ятати, що гетероскедастичн"сть може "сну-вати за рахунок неврахованих фактор"в (погано! специф"кац"! модел"). У цьому раз" можливим р"шенням е включення неврахованих фак-тор"в у модель. Сл"пе застосування трансформац"! (без анал"зу при­чин гетероскедастичност") зробить гомоскедастичною випадкову зм"нну, однак оц"нки параметр"в залишаться неправильними через неврахування важливих фактор"в.