3. Зеедена форма економетрично! модель

Якщо економетрична модель застосовуеться не для анапзу сис­теми, а для передбачення чи оцшювання параметрiв, структурна фор­ма моделi неприйнятна. Алгебрагчними перетвореннями систему структурних рiвнянь зводять до форми, у якш кожне рiвняння мiстить лише одну ендогенну змшну, яка е функшею вгд екзогенних змiнних• Така форма рГвнянь називаеться зееЭеиою.

Зведену форму рГвнянь можна назвати скорочеиою. Це пов'язано з тим, що при певних перетвореннях багато окремих економiчних за-лежностей можуть бути виключеш з розгляду, а отже, загальна кшыасть рГвнянь може скоротитися.

Внаслгдок таких перетворень зведена форма рГвнянь, на ввдмшу вгд структурно'!, не мае ш безпосередньо'1, ш будь-яко'1 економГчно" штерпретацп. РГвняння у зведенш формГ дають змогу передбачити, як змшиться значення ендогенно'1 змшно", якщо змшюватимуться значення екзогенних змшних, однак на шдставГ цих рГвнянь немож­ливо пояснити, як i чому це вгдбуваеться. Саме через це зведену фор­му рГвнянь називають також ирогиозиою.

Отже, коли виникае питання про консультацп чи практичш по-ради, системи рiвнянь у зведенiй формi особливо корисш, оскiльки дають змогу формальну модель звести до мгшмально! юлькосп спiввiдношень. Звичайно, зведена модель матиме цшшсть, якщо пра­вильною е початкова структурна модель.

Зокрема, якщо економетрична модель повна, то '11 залежш змiннi можна представити в явному виглядi як функцп ввд спiльно незалеж­них змiнних, розв'язавши '11 вiдносно вектора залежних змшних y_t. Це можливо, оскiльки за означенням матриця A тако'1 моделi е не виродженою; пiсля множення системи (8.14) на '11 обернену матрицю отримаемо

y_t = A~¹Bx_t + A^-1u_t. (8.15)

При таких перетвореннях параметри зведено'1 форми стають фун-кцiями вiд параметрiв вихвдних структурних рiвнянь i залишки та­ко'1 модели очевидно, е лшшною комбшашею залишкiв структурно" моделi.

Увiвши позначення v_t = A~¹u_t, R = A^-1B, отримаемо спрощений вигляд модел!

Vt = Rxt + vt. (8.16)

У такш системi кожна залежна змшна визначаеться через неза-лежш змшш модел! тобто система (8.16) е зведеною формою еконо-метрично'1 модел!

8.4. Поняття щентифшацм (ототожнення) системи р1внянь

Маючи двi форми системи одночасних р!внянь, необхiдно визна-чити, яка з них краще шдходить для оцiнювання параметрiв модел! Передуам необхiдно досл!дити можливост! застосування звичайного МНК до окремих р!внянь системи.

Як зазначалося (тема 3), для отримання незмiщених i обгрунто-ваних оц!нок параметрiв регресiйного р!вняння за звичайним МНК необхiдно виконати ряд передумов: залишки моделi мають бути ви-падковими величинами з нульовим математичним сподiванням, з! сталими дисперс!ями, некорельованими м!ж собою та незалежними ввдносно ендогенних зм!нних модел!.

З'ясуемо, як виконуються ц! передумови для кейнс!ансько1 моделi (8.1)-(8.2).

Нехай залишки модел1 u_t е випадковими, з нульовим матема-тичним сподйванням, некорельоваш м1ж собою, мають однаков1 дис­перси для вс1х спостережень, тобто задовольняють перил дв1 перед­умови застосування МНК. Перев1римо передумову вщносно неза-лежносп ендогенних змшних i залишпав модели тобто переконаемо-ся, що cov(Y_t, u_t) = 0 для будь-яких вщхилень.

Шдставивши значення C_t з першого рiвняння (8.1) моделi в дру­ге (8.2), отримаемо сшввщношення

^Yt = ^ао + ^ai^Yt + ^Zt + ^ut. розв'язавши яке вiдносно Y_t, матимемо

Y_t = _^ао_ + Z_t + .(8.17)

1 - <2i 1 - Й1 1 - <2i

Зазначимо, що коефiцiент —¹— в останньому сшввщношенш

1 - а₁

е грошовим мультиплшатором, що визначае, на яку величину зростае сукупний прибуток зi збшьшенням обсягу iнвестицiй на одиницю.

Наявшсть коефппента Л при u_t свiдчить про залежнiсть мiж 1 - а₁ ^t

змшною Y_t i залишками моделi. Дшсно, з (8.17) маемо

M (Y_t) = -^а°— + Z_t. (8.18)

1-а₁1-а₁

В останньому сшввщношенш враховано те, що M (u_t) = 0, а також те, що змшна Z_t е екзогенною (незалежною) для дано! модель Тодд' рiзниця мiж (8.17) i (8.18) становить

1 - а₁

Yt - M(Yt)_: ^u

Отже,

cov(Yt,ut) = M((Yt- M(Yt ))(u - M(ut))) :

M

_J_ M (u,² ) = ^ > 0.

Тут ми скористалися твердженням економ!чно1 теорп про те, що гранична схильшсть до споживання ai перебувае в межах о < a₁ < 1.

Отже, залишки моделi корелюють !з залежною змшною, тому за­стосування звичайного МНК дасть змпцеш та необгрунтоваш оцш­ки параметрiв модел!. Б останньому можна переконатися, проана-л!зувавши оцшку 0г₁ параметра ai р!вняння (8.1), отриману за

МНК.

Щоб забезпечити необхгдну як!сть ощнок параметр!в (незм!щен!сть, ефективн!сть i обгрунтовашсть), намагаються на п!дстав! оц!нених па-раметр!в скорочено'1 (зведено'1) форми системи р!внянь отримати оцш-ки параметр!в структурно'1 форми. Однак тут виникае проблема одно-значних залежностей м!ж параметрами: при поверненн! в!д скорочено1 форми модел! до структурно1 (обернет перетворення) можна отрима­ти едине значення шуканого параметра чи кшька р!зних значень або взагал! не мати змоги отримати жодного.

Щоб передбачити можлив! вар!анти розв'язання задач! оцшювання параметр!в системи одночасних р!внянь, необх!дно попередньо дослгди-ти модель, а саме перев!рити !дентиф!кован!сть системи. Шд проблемою гдентифпсацп розум!ють можливють чисельно1 оц!нки параметр!в струк-турних р!внянь за оц!нками коеф!ц!ент!в зведених р!внянь.

Означення 8.4. Економетрична модель, задана системою одночас­них р!внянь, називаеться точно (строго) щентифпсованою (ототож-неною), якщо однозначно можна отримати оцшки 11 параметр!в на основ! оцшених параметр!в зведено1 модел!.

Означення 8.5. Надщентифпсованою (переототожненою) нази­ваеться така модель, що для деяких 11 параметр!в можна отримати к!лька кшыасних значень на п!дстав! параметр!в зведено1 форми.

Кр!м того, модель може бути нещентифпсованою (неототожне-ною). Це трапляеться в тому раз!, якщо кшькшть невщомих пара-метр!в набагато перевищуе к!льк!сть р!внянь, через як! 1х треба оц!-нити.

Отже, перехщ в!д структурно1 до зведено1 форми системи р!внянь хоча й дае змогу усунути проблему корельованост! пояснюючо1 зм!нно1 та випадкового вщхилення, однак призводить до !ншо1 не менш серйозно1 проблеми — проблеми 1дентиф1кованост1.

Щоб зрозумгги проблему щентифпсованост! необх!дно усвщоми-ти суть принципових розб!жностей м!ж структурними та зведеними рйшяннями. Наприклад, у модел1 "попит — пропозищя"

q^f =а₀ + а₁ p_t + u_1t, а₁ < 0, • ^qSt = ^р0 + Pi ^pt + ^u2t^, Pi < ^0,

оцшки коефщентйз поведшкових р1внянь визначають функцп по­питу та пропозицп Оцшюючи коефщенти зведених р1внянь, ми виз-начаемо точку перетину кривих попиту та пропозицп, тобто рйшо-важну цшу товару та його рйшоважну юльюсть. Очевидно, обчисливши щ значення, неможливо вщновити функцп попиту та пропозицп, тому що через одну точку на площиш можна провести нескшченно багато лппй.

Побудуемо зведен1 р1вняння для ще! модели Використавши умо-ву рйшоваги, отримаемо

^ао + ^а1 ^pt + ^uit = ^ро + ^pi ^pt + ^u2t • Останне р1вняння, розв'язане в1дносно p_t, мае вигляд

Pt =Ь о + ut, (8.19)

де л₀ = — ⁰, u_t = — ---випадкова складова.

^а1 ^{— р}1 ^а1 ^{— р}1

П1дставляючи знайдене значення p у початков1 р1вняння, отри-муемо

qt =*1 + vt, (8.20)

^ а1Р0 — а0Р1 аlU2t — аlUlt де Л1 = , v_t = — випадковий член.

^а1 ^{— р}1 ^а1 ^{— р}1

Р1вняння (8.19) i (8.20) утворять систему зведених рйшянь. Од- нак система структурних рiвнянь мае чотири невщомих коефiцiен- ти: а0, р1. 1з курсу алгебри вiдомо, що для однозначного виз-

начення k невщомих необхщно мати щонайменше k (незалежних) рiвнянь• Отже, ми не зможемо однозначно визначити чотири коефь щенти, маючи лише систему з двох рiвнянь: i Ро ~ ^а0

^а1 "Pi

« ^а1^р0 " ^ао^р1 Ai —

^а1 "^р1

Неважко помггити, що, вщкинувши випадков1 залишки у зведе-них р1вняннях (8.19) i (8.20), можна встановити значення p_t — Ао та q_t —А1, яке фактично визначае точку перетину кривих попиту та пропозицп (точку ринково! рiвноваги). Але через одну точку можна провести як завгодно багато лшш (рис. 8.3, а). Тому для визначення конкретних прямих необхщна додаткова шформащя, яку можна от­римати за рахунок екзогенних змшних, що входять до структурних рiвнянь.

\ D₂ D₃

s₂

Че Q 0

аб Рис. 8.3

Q

в

Наприклад, нехай до функцп попиту додано ще одну пояснюючу (екзогенну) змшну y_t — прибуток споживачйв. Тодi модель "попит — пропозищя" матиме вигляд:

\q_t —ао + а 4 p_t + а2 yt + % (а1 < 0, а2 > 0), l^qf ^—р0 +^р1 ^pt + ^u2t^.

(8.21)

Таке доповнення до моделi дае деяку додаткову шформащю про поведiнку споживача. Зпдно з економiчною теорiею, для нормальних товарiв а₂ > 0 .

Прирйшявши обсяг попиту i обсяг пропозицп, матимемо

^a0 + ^a1 Pt + ^a 2 ^yt + ^E1t = Ро + Pi ^pt + ^E2t

або

^pt = ^Xо + ^X1 ^yt + ^vt > ^(8.22)

^P0 ^a0 i _ ^a2 ,, _ ^E2t

00

a₁ - p₁ a₁ - p₁ a₁ - p₁

Прирiвнявши цшу попиту та цшу пропозицп в точщ рiвноваги, отримаемо

^qt = ^X2 + ^X 3 ^yt + ^wt, (8.23)

2

^a1^p0 ^{- a}0^p1 _X = ^a2^p1 _ = ^a1^E2t ^{- p}1^E1t

де X.

Piвняння (8.22) i (8.23) е зведеними. Застосувавши МНК, неважс ко знайти оцiнки !х параметрiв X0, X1, X2, X3. Однак цього недостат- ньо для того, щоб оцшити п'ять параметрйз Р0, Р1 почат-

ково! системи структурних рiвнянь. Ми можемо визначити параметри Р₀ i Р₁ функцп пропозицп системи (8.21):

_P=^X3

^И X₁ (8.24)

^Р0 =^{X2 -P1X0.} (8.25)

Але a2 визначити однозначно не можна. Отже, потрiбно

деяке довизначення. Зауважимо, що введенням пояснюючо! змшно! у функщю попиту (перше рiвняння системи (8.21) ми визначили функщю пропозицп (друге рiвняння ще! само! модели (рис. 8.3).

Якщо у функщю пропозицп ввести пояснюючу змшну (наприклад, заздалеггдь визначену змшну p_t-1), виключивши при цьому з функцп попиту змшну, що визначае прибуток, можна отримати конкретну функщю попиту при невизначенш функцп пропозицп (рис. 8.3). Цей висновок обгрунтовуеться за аналопею з попередньо описаною схемою та рекомендуеться як вправа для самостийно! роботи.

Зазначимо, що якщо в кожне зi структурних рiвнянь моделi "по­пит — пропозищя" поряд iз щ'ною товару буде введено по одшй по-яснюючiй (екзогенно визначенiй) змшшй (наприклад, y у функцiю попиту й ^pt-1 у функцiю пропозицп), то коефiцiенти структурних рiвнянь можуть бути оцшеш однозначно. У цьому разi модель буде однозначно визначеною, тобто щентифгкованою.

Розглянемо модель "попит — пропозищя" з юлыастю екзогенних змшних, що перевищуе кшьюсть структурних рiвнянь:

де змiннa s_t — обсяг заощаджень до моменту часу t.

З умови ринково! рiвновaги нескладно отримати таю зведеш рiвняння:

Г ^pt ^{— А}0 + ^А1 ^yt + ^А2 ^st + ^А3 ^pt-1 + ^vt^,

де

А0 — > А1 — > А2 — >

_А ^р2 . _А ^а1^р0^{- а}0^р1. (8.26)

_А ^а2^р1 _{; А} ^а3^Р1 _{; А} ^а1^р2 _; А5 — . Аб — . А7 — .

^t а₁ - Р₁ ^t а₁ - Р₁

Для оцiнки семи структурних коефщденпв а0, а2, а3, Р0, Р1, Р2 у цьому рaзi отримано вiсiм рiвнянь (8.26). Як нaслiдок, од-нозначне визначення структурних коефпценпв неможливе через су-перечливiсть спiввiдношень. Наприклад, з (8.26) випливае немож-ливiсть визначення Дiйсно, Р1 — А2 i Р1 — А5/А1. Але це можливо лише за умови x₆/x2 = x5/x1, що нереально, оскiльки ко-ефiцiент р1, який мютиться в усiх рiвняннях для оцiнки зведених ко-ефщденпв, також недосконалий. У цьому разi маемо ситуацiю пере-визначеностi або надвдентифгкованосп, тобто "занадто багато" шформацп (обмежень) для визначення лiнi! доходу. Через супереч-ливiсть iнформацi! неможливо отримати шуканий розв'язок.

У ситуацп неiдентифiкованостi "занадто мало" iнформацi!, а тому юнуе кiлька рiзних лшш, що задовольняють обмеження моделi.