5.4. Оцшювання параметр1в багатофакторноУ регресшноУ модел1 на основ1 узагальненого методу найменших квадралв

Розглянемо детaльнiше загальний випадок оцшювання пaрaметрiв моделi з гетероскедастичними залишками.

Запишемо узагальнену багатофакторну регресшну модель у мат­ричному вигляд.

y — Ха + u, (5.i6)

де у — вектор-стовпець залежно! змшно! розм.рносп (n х i);

X — матриця незалежних змшних розм.рносп (n х (m + i));

а — вектор-стовпець невгдомих параметр.в розм.рносп ((m + i) х i);

u — вектор-стовпець випадкових помилок розм.рносп (n х i).

Нехай виконуються Bci припущення класично! лшшно! багато-факторно! модел., за винятком припущення про гомоскедастичшсть похибок. Якщо до модел. (5.i6) застосувати звичайний МНК, от-римана оцшка параметр.в буде незмщеною, обгрунтованою, однак не ефективною (не мае найменшо! дисперси серед незмпцених ош-нок).

За наявносп гетероскедастичносп для оцшювання параметр.в модел. дощ'льно застосувати узагальнений метод найменших квад-рапв (метод Ейткена), вектор оцшювання якого мае вигляд

а — (X 'S^-i X)^-i X'S^-iY. ^(5.i7)

Вектор а мютить незмщену лшшну оцшку параметр.в модел., яка мае найменшу диспераю i матрицю ковар.ацш:

^{о2(а) — ou (X 'S-iX}

Зауваження. Для отримання УМНК-оцшок необхщно знати ковар.ацшну матрицю S вектора похибок, яка на практищ дуже ргдко вгдома. Тому природно спершу оцшити матрицю S, а попм застосу­вати !! оцшку у формул. (5.i7). Цей шдхгд е суть узагальненого ме­тоду найменших квадрапв.

Визначення матриц! S. Оскшьки явище гетероскедастичносп пов'язане лише з тим, що змшюються дисперси залишюв, а кова­piairiH м1ж ними вщсутня, то матриця S мае бути д1агональною, а саме

S

Ху

^Х2

.. 0 .. 0

00

1

Зазначимо, що матриця S залежить вiд специфiчноI форми ге­тероскедастичност й може бути розрахована виходячи з припу-щень про залежшсть похибок ввд одше'1 i3 незалежних змiнних (випадки 1-3).

У матрищ S значення X_i, i = 1, 2, n, можна обчислити, користу-ючись гшотезами:

1. M(uu') = <з²_иХц, тобто диспеpсiя залишкiв пpопоpцiйна до змш пояснюючо! змiнно'l x;

2. M(uu') = <3²_ux²j, тобто змша дисперсй пpопоpцiйна до змши квадрата пояснюючо'1 змiнноl x²;

3. M(uu') =a²_l{| u |}², тобто дисперая залишкiв пропорщйна до змiни квадрата залишкiв за модулем.

1

Для першо'1 гiпотези Х_; = —.

^xij

Для друго'1 гiпотези Х; = — .

Для третьо'1 гiпотези X_i = {| u |}², або Х_i = (a₀ - а_хx_{j)², або

^Хi = ^(ао ^{- а}1^x-1)2.

Oскiльки матриця S симетрична i додатно визначена, то при S = PP¹ матриця Р мае вигляд

0

0

P =

0

0

V?4 0

о 7^2

0

0

0

0

0

Зауваження. Коефщдент детермшацп не може бути задов!льною м!рою якост! модел! в раз! застосування УМНК (на в!дм!ну в!д кла-сично! модел!). У загальному випадку значення коеф!ц!ента детерм!-нац!! нав!ть не повинно перебувати в интервал! [0,1], а додавання чи вилучення незалежно! змшно! (фактора) не обов'язково зумовлюе його зб!лынення або зменшення.

Основы висновки щодо наявност гетероскедастичносп в регресшнш модел1

1. Якщо виявлено гетероскедастичн!сть, а дисперси нев!дом!, не-обх!дно трансформувати початкову модель з метою усунення гетеро-скедастичност!.

2. Якщо о_м. в!дом! (що, взагал!, р!дк!сть), то нев!дом! параметри регрес!йно! модел! розраховуються за МНК.

₂₂

3. Якщо о_м. нев!дом!, але в!домий вигляд залежност! м!ж о_м. та одн!ею !з незалежних зм!нних %_{, то параметри регрес!йно! модел! розраховуються за УМНК.

4. Важливим е припущення про нормальний закон розпод!лу ви-падково! зм!нно! и. Якщо це припущення порушуеться (або, як час­то бувае на практиц!, !гноруеться), то оц!нки параметр!в залинають-ся найкращими, однак ми не можемо визначити !х статистичну значущ!сть (над!йн!сть) за допомогою класичних тест!в значущост! (t, F тощо), оск!льки ц! тести базуються на нормальному закон! роз-под!лу.