3.6. Етапи дослщження загальноУ лшшноУ модел1 множинноУ регресп

Розглядаеться багатофакторна лiнiйна регресшна модель

^y = ^ао + ^а1 ^x1 + ^а2^x2 +■■■ + ^am^xm >

що описуе залежшсть мiж результативною змiнною y та деякими впливовими факторами x2,..., x_m. Iнформацiя про значення y, x_x, x<₂,x_m мiститься у вiдповiдних статистичних даних — n спо-стереженнях (вшмарюваннях) кожного показника.

Для дослвдження зазначено! моделi слiд виконати таю кроки.

1. За даними спостережень оцшити параметри a_m.

2. Для перевiрки aдеквaтностi отримано! моделi обчислити:

а) залишки моделi — розбiжностi мiж спостереженими та розра- хунковими значеннями залежно! змiнно! и_{ = y_{ - y_{, i = 1,2,..., n;

б) вгдносну похибку залшшав та !! середне значення;

в) залишкову дисперию;

г) коефщент детермiнaцi!;

д) вибiрковий коефiцiент множинно! кореляцй.

3. Перевiрити статистичну значупцсть отриманих результапв:

а) перевiрити адекватшсть моделi загалом: за допомогою f-кри- терiю Фiшерa перевiрити гiпотезу

Но ^{: а}1 = ^а2 = ... = dm = ⁰

проти альтернативно! Н_А: iснуе хоча б один коефпцент ф 0;

б) перевiрити знaчущiсть коефiцiентa множинно! кореляцп, тобто розглянути гшотезу Н) : R = 0;

в) перевiрити iстотнiсть кожного коефiцiентa регресп: за допо- могою t-критерiю Стьюдента перевiрити гiпотезу

Н₀ : = 0 для всiх j = 1, 2,m проти вiдповiдних альтернативних гiпотез

Н_А : ф 0 для вах j = 1, 2,m;

г) оцшити вплив кожного регресора на яюсть моделГ, тобто об- числити частковГ коефнценти детермшацГ! AR², скоригувати !х за Тейлом i за АмемГею та дати !х вГдповГдну ГнтерпретацГю;

д) оцГнити вплив окремих груп регресорГв на змшювання рег- ресанда, застосувавши .Р-критерш Фишера.

4. Обчислити та Гнтерпретувати коефщенти еластичностГ.

5. Визначити довГрчГ штервали регресГ! при рГвнГ значущостГ а.

6. Побудувати довГрчГ Гнтервали для параметрГв регресГ!.

7. Обчислити прогнозш значення y_p за значеннями x_x , x_2p,x_mp , що перебувають за межами базового перюду, i знайти межГ довГрчих ГнтервалГв ГндивГдуальних прогнозованих значень i межГ довГрчих штервалГв середнього прогнозу.

Приклад параметризацм та дослщження багатофакторноУ регресшноУ модел1

Розглянемо задачу дослГдження впливу на економГчний показник y трьох факторГв x₂, Х3, а саме дослГджуватимемо залежнГсть при­бутку пГдприемства y(i) вГд ГнвестицГй x^i), витрат на рекламу x₂(i) та заробГтну плату Хз(г).

Припустимо, що М1Ж економйчним показником y i факторами x_i,x₂, Х3 icHye лiнiйний зв'язок.

Запишемо рiвняння регресп у виглядi

y = а₀ + a_t %i + а₂ x₂ + а₃ x₃ + u, (3.3)

y = a₀+a x₁ + a₂ x₂ + a₃ x₃ (3.4)

де y, y — вщповщно фактичнi та розраxyнковi значення прибутку; xj, x3 — вщповщно швестицп, витрати на рекламу та заробпну плату; ao, a₁₍ a3 та a_o, ai\, a₂, a₃ — вiдповiдно параметри модели якi потрiбно оцiнити, та i'x оцiнки; u — стохастична складова.

1. Знайдемо МНК-оцшки параметрiв моделi (3.3). Для цього скла-демо вектор-стовпець Y i матрицю X:

' 15,7 ^		' 1	17,37	5,28	1,42
17,34		1	18,24	6, 47	1,58
21,57 33,5		1 1	22,47 18,47	6, 98 7,05	1,98 2, 04
32,3		1	16,82	7, 94	2, 38
37,9		1	17,6	8,12	3,48
40,78		1	17,12	8,69	3,07
48,02	; X =	1	19, 81	9, 31	3, 84
43,3		1	18,67	10,45	4,28
49,57		1	20,83	10,47	4,67
52,14		1	22,84	13,48	5,98
55,17		1	28,85	15,78	6, 51
59,18		1	29,61	17,65	7,82
62,22		1	35,67	18, 47	8, 58
77,58 V )		1 V	47,87	19,64	9, 47

Обчислимо ощ'нки регресшних коефщденпв за формулою a = (X 'X )^-1 X 'Y, де X' — транспонована матриця X,

X '--

11 1

17,37 18,24 22,47

5,28 6,47 6,98

1,42 1,58 1,98

1 1"

35,67 47,87

18, 47 19,64

8,58 9,47

15 352,24 165,78 67,1"

352,24 9335,74 4404,383 1858,071 _

165,78 4404,38 2147,268 914,9516 '

67,1 1858,07 914,9516 397,2576

2,14866 -0,0276

-0,0276 0,00428

-0, 5174 -0, 0056

0, 95831 -0,0024

-0, 51745 0, 958316

-0, 0056 -0,00245

0,18797 -0, 31932

-0, 31932 0,58755

646, 27 16861,1 8209,78 3498,18

и =

26,10789 -0,2518 -2,72767 11,85602

Отже, функщя регресп з урахуванням знайдених оцшок ко-ефшденпв моделi набувае вигляду

y = 26,10789 - 0,2518x₁ - 2,72767x₂ + 11,85602x₃. (3.5) 2. Для перевiрки адекватноcтi отриманоi моделi обчислимо: а) ii залишки щ = y_{ - y_{, i = 1, 2,n, де y_i — заданi спостережен-ня, а y_i визначенi за формулою (3.5) при заданих спостереженнях факторiв x₁, x₂, x₃.

Зауваження. Обчислення значень y_f можна виконати у матрич­ному виглядi за формулою Y = Xa, де Y — вектор значень y_i, i = 1,2, n.

(24,1675

22, 5995

■ 24,8857 i I 26,4133 I

28, 4322 40,7864 34, 4915 41,2522 43, 6463 47,6718 54,4867 52, 9835 63, 2227 68, 4707 72, 7592

б) вщносну похибку розрахункових значень регресп:

Ui

( -0,53934 "

0, 30332

г-0,15372 i I 0,21154 I

0,11974 -0,07616 0,15420 0,14093 -0, 008 0, 03829 -0, 04501 0, 03963 -0, 06831 -0,10046 0, 06213

середне значення вцщосно! похибки:

n

8 = i=^;

n

8 = -0,52783;

в) середньоквадратичну похибку дисперсп залишшв:

=1

И=1

n - m ■

_{-1 n}

T

uu

m -1 \n - m - 1

(чим менша стандартна похибка S, тим краще функщя регресп ввдпо-вщае дослщним даним);

,7357;

г) коефщдент детермшацп, тобто перевйримо загальний вплив не­залежних змшних на залежну змшну:

n

r2 = i j=l ,

I (^yi ^{- y)}

i=1

R² = 1

Y'Y - B'X'Y _ B'X'Y - ny²

Y 'Y - ny² Y 'Y - ny²

R² = 0,91436.

Висновок: оскшьки коефщснт детермтацп наближастъся до оди-нищ, вар1ац1я залежног змтног Y значною м1рою визначастъся eapia-щею незалежних ззмгнних;

д) вибйрковий коефщдент множинно! кореляцп:

R = 4¥; R = 0,956222.

Коефщдент кореляцп досить великий, тому imye micmiu лтшний зв'язок ycix незалежних фaкmоpiв x₁, x₂, x₃ iз залежною ззмхнною y. 3. Перевйримо статистичну значупцсть отриманих результатйв: а) обчислимо F-статистику за формулою (спрощений вариант для перевйрки нульово! гшотези: Ho : а = ^а1 = ^а2 = — = a_m = 0 ):

R² n - m - 1

F = ■

експ

1 - R² m

fексп = 39,14827.

Знайдемо табличне значення F-статистики F(m, n - m -1, а) (дод. 5):

F(3;11; 0,05) = 3,59. Порйвняемо його з обчисленою F-статистикою.

Оскшыси -F_eKcn> F(3; 11; 0,05), нульова гтотеза в1дхиляетъся, тоб­то коефщенти регреси е значущими; б) обчислимо t-статистику:

Vl - R² ' t=37,03215.

Знайдемо ввдговгдне табличне значения t-pозподiлу з (n-m-l) = = 11 ступенями свободи i piвнeм значущоcтi а = 0,05 (дод. 4):

W^a/2<^n—m—1);

t _б (0,025; 11) = 2,593097.

Оcкiльки |t| > ^_аб_л(0,025; 11), можна зробити висновок про дос-товipнicть коeфiцieнта кореляцй, який характеризуе тicноту зв'язку мiж залежною та незалежними змiнними модель

Для вибраного piвня знaчущоcтi а = 0,05 i вiдповiдного ступеня свободи k = п—т—1 = 11 запишемо довipчi мeжi для множинного кое­фпцента кореляцп R:

(R-AR; R + AR),

^{де AR} = ^ta/2,k

AR = 2,593(1 - 0,956222)/ Vi5 = 0,029311;

(R -AR; R + AR) = (0,926911; 0,985533);

в) пepeвipимо значущicть окремих коефпценпв регресГ!. Визначимо t-статистику за формулою

= -р*— = -^J- (j = 0, 1, m), де Cjj — д1агональний елемент матриц! (X'X) ¹; S_a. — стандартизо­вана похибка оцшки параметра модели;

t₀ = 3,105278; t₁ = -0,67081; t₂ = -1,09688; t₃ = 2,696681.

Значення t-критерГю порГвнюемо з табличним при к = n - m - 1 = 11 ступенях свободи i рГвш значущосп а = 0,05: t_тaбл.(0,025; 11) = 2,593097.

^{0скГльки} ^01 > ^ta/2, k^, К ¹ < ^ta/2, к \^t2 I < ^ta/2, k^, l^t31 > ^ta/2, k ^вГдпо-

вгдно оцгнки a₀, a₃ е значущими, а оцшки аг₁, a₂ не е значущими. Обчислимо вгдношення

§ = ^ • 100%;

^j aj

§0, = 32 %; §a₁ = 94 %; §a₂ = 91 %; §a₃ = 37 %

(значення § характеризують той факт, що оцгнки —незмгщенг, а оцгнки a_v а₂ —змг'щенг);

г) знайдемо значення граничного внеску j-го регресора в ко-ефшдент детермшацп (тобто визначимо, на яку величину зменшить-ся частковий коефщдент детермшацп, якщо j-й регресор буде виклю-чений з рГвняння):

AR²

(1 - R² )t) n-m-1

а,- а,-

де tj = ^j = ^j

AR = 3,1053; AR² = -0,6708; AR₂² = -1,0969; AR₃² = 2,6967;

д) визначимо коефщент детермшацп, скоригований за Тейлом:

n -1

n-m-1

R_T = 1 - (1 - R²)

RT = 0,88.

Обчислимо коефпцент детермшаци, скоригований за Aмeмiею:

п + m + 1

п - m - 1

RA = 1 - (1 - R²)

Ri = 0,83.

Висновок: Гз виключенням змшно! Гз рГвняння втрачаеться один стушть свободи, тодд з двох варГантГв рГвнянь, як мають однаковг шпп критерп якосп, перевага ввддаеться рГвнянню з бгльшим значен­ням скоригованого коефпцента детермшаци (при включенш додат-

кового регресора RT² ввдображуе втрату ступеня свободи битый чггко,

шж RA, тобто в цьому разГ > RA ).

4. Обчислимо коефпценти еластичностГ:

Э$ x дк_{ ^у

а₁ = -0,13724; а₂ = -0,6997; а₃ = 1,23097.

Коефщент еластичностГ е показником впливу змши питомо! ваги x_{ на у у припущенш, що вплив шших факторГв ввдсутшй: у нашому випадку вш показуе, що прибуток тдприемства зменшитъся на 0,14%, якщо витрати на рекламу зростутъ на 1 %; прибуток тдпри­емства збшъшитъся на 1,24 %, якщо зароб1тна плата зросте на 1 %.

Загальна еластичшсть Y вгд уах факторГв

m

^а = Е^а;;

i=1

а=0,394033.

Загальна еластичшсть показуе, що прибуток тдприемства збшъшитъся на 0,39 %, якщо одночасно збшъшити на 1 % ус1 факто­ри (твестицп, витрати на рекламу та зароб1тну плату).

5. Обчислимо довГрчГ штервали для математичного сподГвання у

i для кожного спостереження X_{ = (x^_i), _i), _i)) (будемо назива-ти !х довГрчими зонами):

^x;(x x )^-1x,

де 5_M — незмйщена ощ'нка дисперсп залиштав: 5_м = 5,7357; t_ia(ijL(a/l,k) — вщповгдне табличне значення t-розподиу з k = n—m—1 = 11 ступенями свободи i рйвнем значущосп а = 0,05:

t_табл(0,025; 11) = 2,593097.

Виконавши необxiднi розрахунки, отримаемо довiрчi зони регресп:

(23,430; 24,904) (22,594; 22,604)

(24,730; 25,041) (26,253; 26,573)

(28,241; 28,623)

(40,457; 41,115) (34,374; 34,608) (41,109; 41,395) (43,501; 43,790) (47,430; 47,913) (54,290; 54,683) (52,642; 53,325) (62,887; 63,558) (68,229; 68,712) (71,961; 73,556)

6. Побудуемо довiрчi штервали для параметрiв регресп. Довiрчi iнтервали для параметрiв а обчислюються так:

a/2,k

де Cjj — дiагональний елемент матрицi (X'X) ; о², =32,89835; ta/2,k = W0,025;11) = 2,593097.

Виконавши необхгдш розрахунки, отримаемо

а₀ е (4,31; 47,91); а₂ е (-9,17; 3,72);

а е (-1,23; 0,72); а₃ е (0,46; 23,26 .

7. Обчислимо прогнозш значення i знайдемо межГ довГрчих штер-валГв шдиввдуальних прогнозних значень i межГ довГрчих штервалГв для математичного сподГвання (точковий та штервальш прогнози):

а) для розрахунку прогнозних значень y_pi = Y у рГвняння (3.5)

у = 26,10786 - 0,2518x₁ - 2,72767x₂ + 11,85602x₃

шдставимо прогнозш значення факторГв x_1iip = 48,82, x_2пp = 20,04, x3_iip = 10,25, що лежать за межами базового перюду (точковий про­гноз):

Упр = 80,68;

б) знайдемо межГ штервального прогнозу шдиввдуального значен- ня (для k = п - m - 1 = 11 ступешв свободи та вибраного рГвня зна- чущосп а = 0,05 ) за формулою

*пр ^- /2°^¹ + ^{(XХ) X}пр - ^Yпp - ^^пр + + /2°и^¹ + ^Хпр ^{(ХХ) Х}пр^;

1^?пр = 80,68; °_и = 5,7357; £а/2 = ^(0,025; 11) = 2,5931;

Х_пр = (48,82; 20,04; 10,25);

(58,72; 102,64) — штервальний прогноз шдиввдуального значення;

в) знайдемо межГ довГрчого штервалу для математичного сподь вання значення у_пр за формулою

1>пр - г_а/2°^Хпр (хX )^-1 - м (Yпp) - Y._ap +

= 80,68; °_и = 5,7357; £_табл(0,025; 11) = 2,5931;

(64,52; 96,83) — довГрчий штервал для математичного сподГвання про­гнозного значення.