8.5.4. Трикроковий метод найменших квадралв

Pозглянутi методи дають змогу оцшювати параметри окремих рiвнянь системи. Кожен з них мае переваги та недолши, однак !х об'ед-нуе спiльна риса — значний обсяг розрахунюв при робоп i3 системами велико! розмiрностi, тобто i3 такими, що мютять велику кiлькiсть рiвнянь, а отже, велику кшыасть змiнних i параметрiв. Скорочення обсягу розрахункiв стае особливо актуальним у процеа вивчення швидкоплинних процеав, а також у тому раз^ якщо змiнюеться прь оритетшсть окремих незалежних змiнних моделi. У цих випадках кра-ще скористатися методом, що одночасно оцшюе параметри вах рiвнянь системи, зокрема трикроковим методом найменших квадрапв

(3МНК).

Особливiстю 3МНК е те, що при оцшюванш параметрiв системи загалом слiд зважати на залежносп мiж окремими рiвняннями. Цi за-лежностi виявляються в тому, що залишки окремих рiвнянь корелюють мiж собою, тобто загальна матриця коварiацiй системи е недiагональною. У такiй ситуацГ! найкращим методом оцшювання е узагальнений метод найменших квадрапв (метод Ейткена). Однак у цьому разi необхiдно знати перше наближення матрищ коварiацiй. Для рГвнянь множинно!

регресГ! з автокорельованими залишками цю матрицю отримують на шдставГ залиглюв моделГ, параметри яко! ощнено за звичайним МНК, i вже пГсля обчислення коефщента кореляцГ! коригують загальний оператор оцшювання параметрГв рГвняння.

Для систем рГвнянь, особливо в разГ надгдентифГкованосп окре-мих рГвнянь, краще початкове наближення матрищ коварГащй виз­начають за залишками, як отримано в результат оцГнювання пара­метрГв рГвнянь за двокроковим МНК. Отже, саме поеднання 2МНК i методу Ейткена дало назву цьому методу.

Для практичного застосування 3МНК потрГбно виконати таю ви-моги [17]:

1. усГ тотожностГ, якГ входять до системи рГвнянь, виключають з розгляду, тому що вони не мГстять невгдомих параметрГв i не пара-метризуються;

2. кожне негдентифГковане рГвняння також виключають Гз систе­ми, оскГльки оцшити !х параметри в принцип неможливо;

3. точно ГдентифГкованГ та надгдентифшоваш рГвняння подГляють на двГ рГзнГ групи i 3МНК застосовують до кожно! з них окремо;

4. якщо група надщентифгкованих рГвнянь складаеться лише з од­ного рГвняння, то 3МНК перетворюеться на 2МНК;

5) кореляцГя залишкГв окремих рГвнянь системи призводить до того, що загальна матриця коварГащй системи е недГагональною, од- нак водночас не мГж усГма рГвняннями системи Гснуе залежнГсть, тому матриця коварГацГ! часто бувае блочно-дГагональною, тодГ оцГнюван- ня параметрГв на основГ 3МНК виконують окремо для кожно! групи рГвнянь, що вГдповГдають одному блоку.

8.5.5. Мнк для рекурсивних моделей

Одним Гз випадкГв успГшного застосування МНК для оцГнюван-ня структурних коефщентГв моделГ е рекг/рснвга (трмга/тиг) люделг, у яких ендогеннГ змшш послгдовно (рекурсивно) пов'язанГ одна з од­ною. Перша ендогенна змшна Y1 залежить лише вГд екзогенних змГнних X_f, i = 1, 2, m, i випадкового вГдхилення Друга ендо-генна змГнна Y₂ визначаеться лише значеннями екзогенних змГнних X_f, i = 1, 2, m, випадковим вгдхиленням е2, а також ендогенною змГнною Третя ендогенна змГнна Y3 залежить вГд тих самих змГнних, що i випадкового вГдхилення е3, а також вГд попереднГх ендогенних змГнних ( Y1, Y2 ) i т. д.

У цих моделях структурн! р!вняння оцшюються поетапно ( Y₁ — Y₂ — Y₃ — ... — Y_N ). Застосовуючи МНК для таких моделей, можна отримати незм!щен! та обгрунтован! оц!нки.

Однак модел! даного типу трапляються досить р!дко. У загально-му випадку для оцшки структурних коеф!ц!ент!в спочатку необх!д-но перетворити вих!дн! р!вняння до зведено! форми, а пот!м застосо-вувати звичайний МНК.