2.2. Лшшна модель з двома зм1нними

У загалыному випадку парна лшшна регресЫ е лшшною функщею м"ж залежною зм"нною Y i одн"ею пояснюючою зм"нною X:

Y = а₀ + a₁X. (2.1)

Сшвввдношення (2.1) називаеться теоретичною лтшною регре-айною моделлю; a₀ i a₁ — теоретичт параметри (теоретичт коеф1-щенти) регреси.

Зазначимо, що принциповою в цьому pa3i е лшшшсть за парамет­рами a₀ i ai piвняння (2.1).

Щоб визначити значення теоретичних коефiцiентiв регреси, необ-xiдно знати й використовувати ва значення змiнних X i Y генераль-но" cукупноcтi, що практично неможливо. Тому за вибipкою обмеже-ного обсягу будують так зване емтричне ргвняння регреси, у якому коефнцентами е оцшки теоретичних коефппенив регресГх:

Y = a₀ + a_iX, (2.2)

де a_o i <2₁ — оцiнки нeвiдомиx паpамeтpiв ao i ai.

Через pозбiжнicть статистично! бази для генерально! сукупносп та вибipки оцiнки <5₀ i <5₁ практично завжди вiдpiзняютьcя вщ дiйcниx значень коeфiцiентiв ao i що призводить до pозбiжноcтi eмпipичноl та теоретично! лiнiй регреси. Piзнi вибipки з однiеl й пе! само! генерально'1 cукупноcтi звичайно зумовлюють piзнi оцiнки.

Можливе сшввщношення мiж теоретичним i eмпipичним piвнян-нями регреси схематично зображено на рис. 2.1.

Задач1 лшшного регресшного анал1зу полягають у тому, щоб за на-явними статистичними даними (x_i, у_г), i = 1, 2,..., n, для змшних X i Y:

а) отримати найкращд оцiнки <2_0, щ невiдомих параметрiв а₀ i щ:

б) перевiрити статистичнi гiпотези про параметри модели

в) перевiрити, чи досить добре модель узгоджуеться 3i статистич- ними даними (адекватшсть моделi даним спостережень).

Для вщображення того факту, що кожне шдивщуальне значення y_i вiдхиляeться вiд вiдповiдного умовного математичного сподiван-

ня, у модель уводять випадковий доданок u_t:

y_i = M(Y | X = x_;) + u_i = a₀ + a₁ x_; + щ.

Отже, iндивiдуальнi значення y_i подають у виглядi суми двох

компонент — систематично! (ао + ) i випадково! (u_f). Причина появи останньо! досить докладно розглядалася ранiше. Таким чином, регресшне рiвняння набувае вигляду

Y = а₀ + а₁Х + u. (2.3)

Завдання полягае в тому, щоб за конкретною вибiркою (x_i, y_i), i = 1, 2, к, n, знайти такi значення оцшок невiдомих параметрiв ао i щоб побудована лiнiя регресп була найкращою в певному розумшш серед уах iнших прямих. 1ншими словами, побудована пряма мае бути "найближчою" до точок спостережень за !х сукупнiстю.

Miрою якостi знайдених оцшок можуть бути визначеш композищ! вiдхилень щ, i = 1, 2,n. Наприклад, коефщденти ао i а1 рiвняння регресп можуть бути оцшеш за умови мiнiмiзацi! однiе! з таких сум:

nn	- ^yi^) =	n I^(yi i=1	^(20 ^Cl1^xi^);	(2.4)
nn ^2) I^ui^=I^yi i=1i=1	- ^yi- =	n I^yi^- i=1	alXi | ]	(2.5)
nn ^3) I u^2 =I ( у-- i=1i=1		n ^=I^(yi i=1	^- ^- >21^xi^)^2^.	(2.6)

Однак перша сума не може бути Mipoio якост знайдених ощнок

n

через те, що юнуе безл1ч прямих (зокрема, Y = y ), для яких ^ щ = 0

i=i

(доведення цього твердження виноситься як вправа).

Метод визначення ощнок коефщенпв за умови мппм1зацп дру-го! суми називаеться методом найменшихмодулгв (МНМ).

Найпоширешшим i теоретично обгрунтованим е метод визначен­ня коефшденпв, при якому мiнiмiзуеться третя сума. Biн дютав на-зву методу найменших квадратгв (МНК).

Останнiй метод oцiнювання паpаметpiв найпpoстiший з обчис-лювально! точки зору. Кpiм того, oцiнки коефщенив регреси!, знайденi за МНК при визначених передумовах, мають ряд опти-мальних властивостей (незмiщенiсть, ефективнiсть, обгрунто-ванiсть).

Серед iнших метoдiв визначення ощнок коефшденив регресп ви-окремимо метод моменпв (ММ) i метод максимально! пpавдoпoдiб-нoстi (ММП).