3.3.2. Перев1рка значущосп та flOBipni штервали

Розглянут1 показники якост1 модел1 побудован1 за даними спо-стережень, тобто е деякими виб1рковими характеристиками генераль-но! сукупност1. 3 математично! статистики в1домо, що будь-яка ста­тистика (функц1я в1д елемент1в виб1рки) мае бути перев1рена на значущ1сть. 1ншими словами, за допомогою спец1альних критер1!в не-обх1дно встановити, чи зумовлено значення ц1е! функц1! лише похиб-ками вим1рювання, чи вона в1дображае якусь суттеву (значущу) 1нформац1ю. Неперев1рений статистичний результат е лише деякою г1потезою, яка може бути прийнята чи в1дхилена.

Нагадаемо, що перев1рка г1потез у загальному випадку виконуеть-ся в такому порядку. для кожно! задач1 добираеться деяка випадкова величина, що мае в1домий чи близький до в1домого закон розпод1лу. Функц1я в1д елемент1в виб1рки е конкретною реал1зац1ею ц1е! випад­ково! величини.

Зауваження. У задачах регрес1йного анал1зу важливе значення мае припущення про нормальний розпод1л випадкових величин, що зад1-ян1 в дан1й модел1. Певн1 перетворення нормально розпод1лених вели­чин забезпечують !х розпод1л за законом Стьюдента чи за законом Ф1шера. на п1дстав1 першого з них визначаються дов1рч1 1нтервали, а другий дае змогу оц1нювати в1дношення двох випадкових величин.

Стосовно кожного статистичного результату висуваеться так зва­на нульова г1потеза (про р1вн1сть нулю деяко! випадково! величини) 1 альтернативна до не! г1потеза (про !! суттеву в1дм1нн1сть в1д нуля). У нульов1й г1потез1 формулюють результат, який бажано в1дхилити, а в альтернативн1й, яка 1накше називаеться експериментальною, — той, що його необх1дно п1дтвердити.

Зауваження. Р1вн1сть двох величин у загальному випадку може розглядатися як р1вн1сть нулю !х р1зниц1.

3а заданим р1внем значущост1 множина допустимих значень роз-биваеться на дв1 неперетинн1 множини. одна м1стить значення випад-ково! величини, 1мов1рн1сть досягнення яких перевищуе заданий р1вень значущост1, а 1нша — критична область — визначае т1 значен-ня, що досягаються р1дко (1мов1рн1сть потрапити до тако! област1 нижча в1д заданого р1вня), 1 розташована вона, як правило, на "хвос­тах розпод1лу".

3алежно в1д альтернативно! г1потези критична область може склада-тися з одного чи двох пром1жк1в на числов1й ос1. Це буде один пром1жок

(правий чи лГвий "хвют" розподшу), якщо зазначаеться напрямок не-рГвносп (бгльше або менше деяко! величини), i два промгжки (обидва "хвости" розподглу), якщо встановлюеться нерГвшсть (не доргвнюе певнш величиш).

За даними спостережень обчислюеться значення вгдповгдно! ста­тистики — функцп вгд елементгв вибгрки. Якщо ця величина потрап-ляе до критично! обласп, це означае, що сталася практично немож-лива поддя, тобто подгя, що мае дуже малу ймовгршсть, а отже, вгд нульово! гшотези слвд ввдмовитися i вгддати перевагу альтернативнш. Якщо обчислене значення статистики не потрапило до критично! об-ласп, роблять висновок, що дана вибгрка не суперечить нульовш гшо­теза тобто неправильною е експериментальна гшотеза.

При перевгрш гшотез може бути допущена помилка, наприклад може бути вгдхилена нульова гшотеза, хоча насправдГ вона правиль­на (помилка першого роду), або ж, навпаки, нульова гшотеза може бути прийнята, хоча вона неправильна (помилка другого роду). На це слгд зважати при формулюванш статистичного висновку.

Якщо значення R "близьке" до одинищ, вважаеться, що регресшне ргвняння досить правильно ввдбивае наявний зв'язок мГж залежною та незалежними змшними моделГ. Якщо значення R² "близьке" до нуля, регресшна модель неправильна. Постае питання, як визначити цю "близькють"? Для цього необхгдно застосувати ввдповцщий статистич-ний критерш, який дасть змогу встановити, чи суттево вгдргзняеться R² вгд нуля, чи ця ввдмшшсть пов'язана з особливостями конкретних даних, тобто зумовлена лише похибками вимгрювань.

Для перевгрки статистично! значущосп коефщента детермшацп R² висуваеться нульова гшотеза Н) : R = 0. Це означае, що дослгджу-ване рГвняння не пояснюе змшювання регресанда шд впливом ввдго-вгдних регресорГв. У такому разГ вс коефщенти при незалежних змшних мають дорГвнювати нулю. При цьому нульову гшотезу мож­на подати у виглядг

Альтернативною до не! е Н_д: значення хоча б одного параметра моделГ вгдмшне вгд нуля, тобто хоча б один гз факторГв впливае на змшювання залежно! змшно!.

Для перевгрки цих гшотез застосовують .Р-критерш Филера з m i n - m - 1 ступенями свободи. За отриманими в моделГ значеннями коефщдента детермшацп R² обчислюють експериментальне значен­ия ^-статистики:

_ = R² n - m -1 1 - R² m

яке пор1внюють з табличним значенням розподшу Фпнера при зада-ному р1вн1 значущост а (як правило, а = 0,05 або а = 0,01). Якщо -^табл < ^_експ, нульова гшотеза вщхиляеться, тобто юнуе такий ко-ефщент у регресшному р1внянш, який суттево в1др1зняеться вщ нуля, а вщповщний фактор впливае на дослщжувану змшну. Вщхи-лення нуль-гшотези свщчить про адекватшсть побудовано! модель У протилежному випадку модель вважаеться неадекватною.

Коефпцент кореляцп, як виб1ркова характеристика, перев1ряеть-ся на значуицсть за допомогою ?-критер1ю Стьюдента. Фактичне зна­чення t-статистики обчислюеться за формулою

, = R-4n - m - 1 V1 - R²

i пор1внюеться з табличним значенням £-розподдлу з n - m - 1 ступе­нями свободи та при заданому рiвнi значущост а/2 (такий рiвень зу-мовлений тим, що критична область складаеться з двох промiжкiв). Якщо абсолютна величина експериментального значення t-статисти-ки перевищуе табличне, тобто

можна зробити висновок, що коефпцент кореляцп достовiрний (зна-чущий), а зв'язок мiж залежною змiнною та всiма незалежними фак­торами суттевий.

Oкрiм загальних показникiв адекватност моделi iснують також оцiнки, що дають змогу встановити яюсть окремих частин рiвняння, зокрема одного чи кшькох коефiцiентiв регресп. Як i в попереднiх випадках, рiшення вщносно якостi коефiцiентiв приймають на основi вiдповiдних статистичних критерпв.

На пiдставi одного з найважливiших припущень МНК — припу-щення про нормальний розподш випадково! складово! рiвняння з нульовим математичним сподiванням i сталою диспераею — дове­дено, що кожний параметр лшшно! perpeci'i також мае нормальний розподгл. Причому математичне cподiвання параметра доpiвнюе зна-ченню параметра узагальнено! регресГ!, а дисперсГя — нeзмiщeнiй дис-персГ! випадково! складово! рГвняння, помножeнiй на вгдповщний дГа-

гональний елемент обернено! матpицi( X ^TX

Статистичну значущicть кожного параметра модeлi можна пере-вГрити за допомогою t-критерш. При цьому нульова гiпотeза мае вигляд

H₀ : a_j = 0,

альтернативна

Я_А : aj Ф 0.

Експериментальне значення t-статистики для кожного параметра моделГ обчислюеться за формулою

t

де Cjj — дгагональний елемент матрицГ (X^T X) ¹; S_a. — стандартизо­вана похибка оцГнки параметра моделГ, S_a = o_u^/Cj~.

Експериментальне значення tj -критерГю порГвнюеться з таблич-ним значенням з n - m - 1 ступенями свободи при заданому рГвнг значущостГ а/2 (критична область розбиваеться на два фрагмен­та, межГ яких задаються квантилем а/2). Якщо значення tj-статисти-ки потрапляе до критично! обласп (за абсолютним значенням пере-вищуе ^_аб_л ), приймаеться альтернативна гшотеза про значущдсть вгдповгдного параметра. 1накше робиться висновок про статистичну незначущд'сть параметра aj, а це означае, що вгдповгдна незалежна змшна не впливае суттево на змшювання регресанда.

Зауваження. Оскшьки tj-статистика е вгдношенням вгдповгдного параметра моделГ до його стандартно! похибки (середньоквадратично-го вГдхилення), то на практицг частппе застосовують грубппу оцГнку, а саме допускають, щоб стандартнг похибки становили 45-50 % значен­ня параметра, аби стверджувати про його статистичну значупцсть.

Дов1рч1 штервали для кожного окремого параметра обчислю-ються на основ1 його стандартно! похибки та критер1ю Стьюдента:

Табличне значення ?_таб_л, як i рашше, мае n - m - 1 ступешв сво­боди i рiвень значущостi а/2 (^_таб_л = t_a/_U (n - m -1)).

Обчислеш значення tj-статистик застосовують також для розра-

хунку часткових коефпценпв детермiнацi! ARj, як визначають гра-ничний внесок j-го регресора в загальний коефщент детермшацп. Ко-ефiцiент AR^U показуе, на яку величину зменшиться коефпцент

детермшацп R^u, якщо j-й регресор (i лише вiн!) буде вилучений з гру_-

пи регресорiв• Формула для розрахунку часткового коефпцента де­термшацп мае вигляд

n-m

де R^U — коефiцiент детермiнацi!, обчислений для моделi з m регресо-рами; t^U — квадрат обчисленого значення t-статистики для j-го рег-ресiйного коефпцента; n — кiлькiсть спостережень, m — кiлькiсть рег-ресорiв•

Зауваження. Частковi коефiцiенти детермiнацi! ART i AR|, об-

численi за ввдговцшими значеннями RT та R_A, можуть бути як до-датними, так i вiд'емними, що дае змогу бглын об'ективно оцiнювати моделi з ргзною юльюстю регресорiв•