5.2.1. Параметричний тест Гольдфельда — Квандта

Зауваження. 1. Цей тест застосовуеться до великих виб!рок. 2. Тест припускае нормальний розпод!л ! незалежн!сть випадкових

величин u .

i

1-й крок:

спостереження (вих!дн! дан!) впорядкувати в!дпов!дно до величи-ни елемент!в вектора x_{ , який може спричинити зм!ну дисперс!! за-лишк!в.

2-й крок:

в!дкинути с спостережень, як! розм!щен! всередин! вектор!в вих!д-4n

них даних, де c = 15, n - к!льк!сть елемент!в вектора x..

3-й крок:

побудувати дв1 модели на ochobI звичайного МНК за двома ство-

n - c

реними сукупностями спостережень обсягом —^— за умови, що

_n-c

> m, де m — юльюсть змшних.

2

4-й крок:

знайти суму квадрапв залишюв S_t i S2 за першою i другою моде­лями:

де u_t i u — залишки вiдповiдно за першою i другою моделями. 5-й крок:

розрахувати критерш F ——, який у разi виконання гiпотези

^Si

(n - c - 2m)

про гомоскедастичшсть вiдповiдатиме F-розподшу з Yi — 2 ,

(n-c-2m) Y2 — 2 ступенями свободи;

значення критерию F порйвняти з табличним значенням F-кри-терiю при вибраному р.вш значущосп a i вщповщних ступенях сво­боди; якщо F < F^jj, то гетероскедaстичнiсть вщсутня.

Зауваження: чим бшыне значення F, тим бшына гетероскедас­тичшсть зaлишкiв.

5.2.2. Непараметричний тест Гольдфельда — Квандта

Цей тест базуеться на встановленш кшькосп ппав значень за-лшшав шсля впорядкування (ранжування) спостережень за %_{.. Якщо для Bcix значень змшно! %_{. залишки розподшяються приблизно од-наково, то дисперая 1х однорiднa i гетероскедaстичнiсть вщсутня. Якщо вона змiнюеться, то гетероскедастичшсть присутня.

Зазначимо, що цей тест не щлком нaдiйний для перевiрки на ге-тероскедaстичнiсть. Однак вш дуже простий i часто використовуеть-ся для першо! оцшки наявносп гетероскедaстичностi множини спо­стережень.

5.2.3. Тест Глейсера

Перев!рка на гетероскедастичн!сть базуеться на побудов! регре-с!йно! функц!!, що характеризуе залежн!сть величини залишк!в за мо­дулем в!д пояснюючо! зм!нно! xj, яка може зумовити зм!ну дисперс!! залишк!в.

Анал!тична форма регрес!йних функц!й може мати вигляд

\u\ = а₀ +а₁ xj^-1,

Ы = а_п +а< x^1/2 ! т. !н.

0 1 j

Р!шення про в!дсутн!сть гетероскедастичност! залишк!в прий-маеться на основ! значущост! коеф!ц!ент!в а₀ ! а₁. Перевага цього ме­тоду полягае в можливост! розр!зняти випадок чисто! = 0, а1 ф 0) ! зм!шано! ф 0, а1 ф 0) гетероскедастичност!. Залежно в!д цього по-тр!бно використовувати р!зн! матриц! S.

Оск!льки явище гетероскедастичност! пов'язане з тим, що зм!ню-ються дисперс!! залишк!в, а ковар!ац!я м!ж ними в!дсутня, то матри-ця Sу сп!вв!дношенн! M(uu) = c²_lS мае бути додатно визначеною й д!агональною.

Приклад. Перев!рити гшотезу про в!дсутн!сть гетероскедастич-ност! для побудови модел!, яка характеризуе залежн!сть заощаджень в!д доход!в населення. Статистичн! дан! наведено в таблиц!.

Р!к	Заощадження	Дох!д
1	1,36	14,87
2	1,2	14,4
3	1,7	13,8
4	1,84	15,6
5	2,1	15,94
6	1,12	16,9
7	1,89	17,7
8	2,3	18,67
9	2,5	18,04
10	1,17	19,5
11	1,9	21,4
12	1,95	22,7
13	2,87	25,7
14	2,6	27,18
15	1,75	28,9
16	1,96	29,45
17	1,4	30,07
18	2,99	30,2

Розв'язання. 1дентифгкуемо змшш: y — заощадження, x — дохгд. Cпецифiкуемо модель у вигляд.

y — а₀ + + u,

y — а₀+a_i x,

де и — стохастична складова модел..

Для перевiрки гiпотези про вгдсутшсть гетероскедaстичностi за-лишюв моделi застосуемо параметричний тест Гольдфельда — Квандта.

1-й крок:

спостереження впорядкуемо за зростанням за величиною доходу (вектор x) , який може спричинити змшу дисперси залигшав.

Рпс	Заощадження	Дохщ
i	i,7	i3,8
2	i,2	i4,4
3	i,36	i4,87
4	i,84	i5,6
5	2,i	i5,94
6	i,i2	i6,9
7	i,89	i7,7
8	2,5	i8,04
9	2,3	i8,67
i0	i,i7	i9,5
ii	i,9	2i,4
i2	i,95	22,7
i3	2,87	25,7
i4	2,6	27,i8
i5	i,75	28,9
i6	i,96	29,45
i7	i,4	30,07
i8	2,99	30,2

2-й крок:

вгдкинемо с спостережень усерединi вектора вюадних даних, де _— 4n

^{c —} i5 , n — кшьюсть елементiв вектора x. Отже,

4 • i8 .

c — ~ 4.

i5

Отримаемо дв! сукупност! спостережень обсягом —2— = 7. Перша сукупн!сть спостережень:

1	1,7	13,8
2	1,2	14,4
3	1,36	14,87
4	1,84	15,6
5	2,1	15,94
6	1,12	16,9
7	1,89	17,7
Друга сукупн!сть спостережень:
1	1,95	22,7
2	2,87	25,7
3	2,6	27,18
4	1,75	28,9
5	1,96	29,45
6	1,4	30,07
7	2,99	30,2

3-й крок:

побудуемо дв! модел! на основ! звичайного МНК за двома ство-реними сукупностями спостережень:

г/₁ = 0,7411 + 0,05514x, y₂ = 2,9371 - 0,02595x.

4-й крок:

знайдемо суму квадрат!в залишк!в S₁ ! S₂ за першою ! другою мо­делями:

S₁ = щ% = 0,8149, S₂ = u₂^tru₂ = 2,1628,

де u₁ ! u₂ — залишки в!дпов!дно за першою ! другою моделями. 5-й крок:

. S2 2,1628

розрахуемо критерш F = — = ~ 2,654, який у раз! вико-

S₁ 0,8149

нання ппотези про гомоскедастичн!сть в!дпов!датиме F-розпод!лу

(n - c - 2m<) _ (n - c - 2тЛ з yi — 2 — 5, Y2 — 2 — 5 ступенями свободи;

m — m + i;

значення критерiю F порiвняемо з табличним значенням F-кри-терiю при р.вш знaчущостi а — 0,05 i вгдповгдних ступенях свободи:

^F _б ^{— F(0,05; 5) — 5,05.}

Осюльки F* < F_тaб_л, то гетероскедaстичнiсть вгдсутня. Отже, МНК-оцшки пaрaметрiв регресшно! моделi можуть застосовуватися для подальших дослiджень.