1.1.3. Класифшащя моделей

Математичнi модели що використовуються в економiцi, можна подшити на класи за рядом ознак. Залежно ввд особливостей об'екта моделювання та застосованого математичного iнструментарiю виок-ремлюють такi моделi: макро- та мiкроекономiчнi, теоретичнi та при-кладнi, статичнi та динамiчнi, детермшоваш та стохастичнi, оптимь зацiйнi та моделi рiвноваги тощо.

Макроекономiчнi моделi описують економiку загалом, пов'язуючи мiж собою узагальненi матерiальнi та фiнансовi показники: ВВП, споживан-ня, швестици, зайнятiсть, процентну ставку, кiлькiсть грошей тощо. Микро-економiчнi моделi описують взаемодiю структурних i функцiональних складових економпки або поведiнку окремо! складово! в ринковому се-редовищi. Завдяки рiзноманiттю типiв економiчних елементiв i форм !х взаемодГ! на ринку мiкроекономiчне моделювання становить основну ча-стину економiко-математично! теори. Останнiми роками найсуттевiшi те-оретичнi результати вмiкроекономiчному моделюваннi отримано в про-цеа дослiдження стратегiчно! поведiнки фГрм в умовах олтополи.

Теоретичнi моделi дають змогу вивчати загальш властивостi еко-номГки та !! характерних елеменив i отримувати новГ результати на пiдставi формальних припущень. За допомогою прикладних моделей можна ощнити певш економiчнi показники, надати !м конкретних значень виходячи з вадповадно! статистично! iнформацi!.

У статичних моделях описуеться стан економiчного об'екта в пев-ний момент чи перiод часу, а динамiчнi моделi вивчають взаемозв'яз-ки економiчних змГнних у чась ЗмГннГ, що вивчаються в динамщд, у статичних моделях мають фпксоване значення. Однак динамiчна мо­дель не зводиться до просто! суми статичних моделей, а описуе взае-модГю сил, що рухають економiку.

Детермшоваш моделi передбачають жорсткГ функцiональнi зв'яз-ки мГж змГнними моделi, а стохастичш — припускають наявнiсть ви-падкових впливГв на дослiджуванi показники.

У моделюванш ринково1 економГки важливе мюце належить моде­лям рГвноваги. Вони описують такий стан економГки, коли ва сили, що намагаються вивести ii з рГвноваги, мають нульову сумарну дгю. Опти-мГзацшш моделГ найчастгше застосовують на мГкрорГвнГ: вони дають змогу визначати найкращГ ргшення в умовах обмежених можливостей.

Предметом економетричного дослГдження е прикладш стохастичнг економГчнГ моделГ, тобто загальнГ економгчш моделГ, у яких моделью коефГщенти набувають конкретних числових значень залежно вГд використано1 статистично1 шформацп.

1.2. Кореляцшно-регресшний анал1з в економМ

У багатьох задачах потрГбно встановити та оцгнити залежнГсть деякого економГчного показника вГд одного чи кГлькох гнших показ­никГв. Очевидно, будь-якГ економгчш показники, зазвичай, перебува-ють шд впливом випадкових факторГв, а тому з математичноi точки зору штерпретуються як випадковГ величини.

3 теорп ймовгрностей вГдомо, що випадковГ величини можуть бути пов'язаш функцГональною чи статистичною залежшстю або ж узагалг бути незалежними. 3вичайно, спГввГдношення мгж незалежними змГнними тут не розглядаються. Строга функцюнальна залежнГсть реалГзуеться в економщ рГдко. ЧастГше спостерГгаеться так звана ста-тистична залежнГсть.

Нагадаемо, що статистичною називають залежнГсть, коли зг змшюванням однiеi випадковоi величини змшюеться закон розподГ-лу ймовгрностей шшо". 3окрема, статистична залежнГсть виявляеть-ся в тому, що зГ змГнюванням однГе1 величини змГнюеться середне значення шшо1. Така залежнГсть називаеться кореляцшною.

Наприклад, у землеробствГ з однакових за площею дглянок землг при рГвних кГлькостях внесених добрив збирають рГзний врожай. 3ви-чайно, немае строго1 функцГонально1 залежностГ мгж урожайшстю землГ та кГлькГстю внесених добрив. Це пояснюеться впливом випад­кових факторГв (опади, температура повгтря, розташування дглян-ки тощо). Водночас, як показуе досвГд, середшй врожай залежить вГд кГлькостГ внесених добрив, тобто зазначеш показники, напевне, пов'язаш кореляцшною залежшстю.

Можна зазначити два типи взаемозв'язку змшних. В одному ви-падку неввдомо, яка зГ змГнних незалежна, а яка — залежна, тобто вони рiвноправнi й зв'язок можна розглядати як в один, так i в шший бпк У другому випадку змшш нерiвноправнi, тобто змiнювання лише одше! з них впливае на змшювання шшо!, а не навпаки. У цьому разi при розглядГ зв'язку мГж двома змГнними величинами важливо встано-вити на основГ логГчного мiркування, яка з ознак е причиною, а яка — наспдком. Наприклад, урожайшсть залежить ввд родючостГ землi, а не навпаки, тобто економiчна оцiнка землi е незалежною змшною, а врожайнiсть — залежною.

Варто мати на увазГ що статистичний аналiз залежностей сам по со6Г не розкривае сутност причинних зв'язкГв мГж явищами, тобто вш не вирГшуе питання, з яких причин одна змшна впливае на шшу. Розв'язок тако! задачГ е результатом якГсного (змГстовного) вивчен­ня зв'язкГв, що обов'язково мае або передувати статистичному аналГ-зу, або супроводжувати його.

Нехай з певних економГчних мГркувань встановлено, що деякий економГчний показник x е причиною змГнювання Гншого показника у. СтатистичнГ данГ по кожному з показншав Гнтерпретуються як деякг реалГзацГ! випадкових величин X i Y. Як вГдомо з курсу теорп ймовГр-ностей, математичним сподГванням випадково! величини називаеть-ся !! середне (арифметичне чи зважене) значення. А залежшсть се-реднього значення ввд Гншо! випадково! величини зображуеться за допомогою умовного математичного сподГвання.

Корелящйну залежнГсть мГж ними або залежшсть в середньому в загальному випадку можна подати у виглядГ сшвввдношення

M(Y|x) = /(x), (1.1)

де M(Y | x) — умовне математичне сподГвання.

Функщя /(x) називаеться функщею регреси Y на X. При цьому X називаеться незалежною (пояснюючою) змхнною (регресором), Y — за­лежною (пояснюваною) змтною (регресандом). Розглядаючи за­лежнГсть двох випадкових величин, говорять про парну регресгю.

ЗалежнГсть Y ввд кглькох змшних, що описуеться функшею

M(Y | x1, x2,..., x_m) = F(x_u x2,k, x_m), ^(1.2)

називають множинною регреаею.

ТермГн "регресГя" (рух назад, повернення до попереднього стану) увГв ФренсГс Галтон наприкГнцГ XIX ст., проаналГзувавши залежнГсть мгж зростом батькгв i зростом дгтей. ВГн помГтив, що зрГст дгтей у ду-же високих батькгв у середньому менший, нгж середнгй зрГст батькГв. У дуже низьких батькгв, навпаки, середнгй зрГст дгтей вищий. В обох випадках середнгй зрГст дгтей прямуе (повертаеться) до середнього зросту людей у даному реггонг. 3вгдси й вибгр термгна, що вГдбивае таку залежнГсть.

Однак реальш значення залежно1 змшно1 не завжди збггаються з ii умовним математичним сподГванням, тому аналГтична залежнГсть (у виглядГ функцп y = f (x)) мае бути доповнена випадковою скла-довою и, що, власне, i вказуе на стохастичну сутшсть залежностГ.

Означения 1.1. 3в'язки мГж залежною та незалежною (незалеж­ними) змгнними, що описуються спгввгдношеннями

y = f (x) + u, (1.3)

y = F(x₁, x₂,x_m) + u, (1.4)

називають регресшними ргеняннями (моделями).

Виникае питання про причини обов'язково1 присутностГ в ре-гресГйних моделях випадкового фактора (вГдхилення). Серед таких причин виокремимо нашстотншп.

1. Уеедення е модель не есгх пояснюючих змгнних. Будь-яка регре-сГйна (зокрема, економетрична) модель — це спрощення реально1 си-туацП. Остання завжди е складною композищею рГзних факторГв, багато з яких у моделГ не враховуються, що призводить до вГдхилен­ня реальних значень залежно1 змшно1 вГд ii модельних значень. На-приклад, попит на товар визначаеться його цшою, цшами на товари-замшники, на товари, що його доповнюють, прибутком споживачГв, "хнГми смаками, уподобаннями тощо. Безумовно, перелгчити всГ пояс-нюючГ змГннГ практично неможливо. 3окрема, неможливо врахувати такГ фактори, як традицп, нацГональнГ чи релГгГйнГ особливосп, геогра-фГчне положення району, погоду та багато гнших, вплив яких призво­дить до деяких ввдхилень реальних спостережень вГд модельних. Цг вГдхилення можуть бути описанГ як випадкова складова моделГ.

У деяких випадках заздалеггдь невгдомо, якГ фактори за умов, що склалися, насправдГ е визначальними, а якими можна знехтувати. Кргм того, школи безпосередньо врахувати якийсь фактор немож­ливо через ввдсутшсть статистичних даних. Наприклад, обсяг за-ощаджень домогосподарств може визначатися не лише прибутками 1х членгв, а й станом здоров'я останнгх, шформацгя про яке в цивГлГ­зованих кра!нах становить лжарську таемницю. У деяких ситуащях ряд факторГв мае принципово випадковий характер, що додае не­однозначности певним моделям, наприклад погода в моделях, що про-гнозують обсяг врожаю.

2. Неправилъний вииббр функциональны форми модель. Через слабку вив-чешсть дослгджуваного процесу або через його мшливють може бути не­правильно дГбрано функщю, що його моделюе. Це, безумовно, спричи-нить ввдхилення моделГ вГд реальностГ, що позначиться на величинг випадково! складово!. Наприклад, виробнича функцГя (Y) одного факто­ра (X) може моделюватися функщею Y = a + bX, хоча мала б викорис-товуватися шша модель: Y = aX^b (0 < b < 1), що враховуе закон спадно! ефективносп. КрГм того, неправильним може бути добГр пояснюючих змшних.

3. Агрегування змтних. У багатьох моделях розглядаються залеж-ностГ мГж факторами, що самГ е складною комбшащею Гнших, про-стГших змшних. Наприклад, при вивченш сукупного попиту аналГ-зуеться залежнГсть, у якш пояснювана змГнна (сукупний попит) е складною композищею ГндивГдуальних попитГв, що також може ви-явитися причиною ввдхилення реальних значень вГд модельних.

4. Помилки вимЬрюванъ. Якою б яюсною не була модель, помилки вимГрювання змшних впливатимуть на розбГжносп мГж модельними та емпГричними даними, що також позначиться на величиш випад-кового члена.

5. Обмежетстъ статистичних даних. НайчастГше будуються мо­делГ, що описуються неперервними фунюцями. А для оцшювання параметрГв моделГ використовуеться набГр даних, що мае дискрет-ну структуру. Ця невГдповвдшсть знаходить ввдображення у випад-ковому вГдхиленнГ.

6. Непередбачуватстъ людсъкого фактора. Ця причина може "зшсувати" найяюсшту модель. Дшсно, при правильному виборг форми моделГ, скрупульозному доборГ пояснюючих змГнних немож- ливо спрогнозувати поведГнку кожного шдиввдуума.

СукупнГсть методГв, за допомогою яких дослвджуються та узагаль-нюються взаемозв'язки кореляцшно пов'язаних змГнних, називаеть­ся корелящйно-регресшним аналГзом.

Зазначеними методами розв'язують двГ основнГ задачГ:

1) знаходження загально! закономГрностГ, що характеризуе залеж- нГсть двох (чи бгльше) кореляцшно пов'язаних змГнних, тобто роз- робка математично! моделГ зв'язку (задача регресшного аналГзу);